01. Числовые и алгебраические выражения (В. А. Тарасов)
23 мин
02. Числовые выражения; действия с натуральными числами (В. А. Тарасов)
22 мин
03. Числовые выражения; действия с дробными числами (В. А. Тарасов)
21 мин
04. Математический язык
11 мин
05. Математическая модель
10 мин
06. Математическая модель и текстовые задачи
10 мин
07. Математическая модель и текстовые задачи (продолжение)
6 мин
08. Числовые и алгебраические выражения в математических моделях и задачах
23 мин
09. Линейное уравнение с одной переменной (Г. И. Вольфсон)
20 мин
10. Линейное уравнение с одной переменной (В. А. Тарасов)
18 мин
09. Линейное уравнение с одной переменной (Г. И. Вольфсон)
Видео доступно по абонементу
Решение различных текстовых задач часто сводится к решению уравнения с введенной нами переменной. На этом уроке мы познакомимся с определением одного типа таких уравнений, линейными, и методами решения уравнений этого типа. Также рассмотрим несколько примеров с решениями.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства».
Задача 1
В каждом автобусе можно разместить школьников. Сколько автобусов потребуется, чтобы перевезти школьников (см. pис. 1)?
Решение
Решим данную задачу с помощью уравнения. Пусть – это искомое число автобусов. В каждый автобус помещается учеников, следовательно, общее количество учеников, которые проедут в искомом числе автобусов, будет равно . Однако общее количество учеников нам известно – , поэтому получили уравнение:
Найдём , решив данное уравнение:
Ответ: автобус.
Линейное уравнение с одной переменной. Определение
В задаче мы составили уравнение, которое называется линейным уравнением.
Уравнение вида , где – переменная, и – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Число обычно называют коэффициентом, а число – свободным членом. Они могут быть положительными и отрицательными, целыми и нецелыми, и даже нулями. Например:
Решение линейного уравнения с одной переменной
Рассмотрим случая:
Коэффициент не равен
В этом случае обе части линейного уравнения можно разделить на :
При этом будет равен:
Коэффициент равен
В этом случае линейное уравнение принимает вид . Из этого уравнения и свойства умножения чисел на ноль следует, что, какое бы число мы ни взяли в качестве , при его подстановке в уравнение получится числовое равенство . Это равенство верное, когда , а в остальных случаях при это равенство неверное.
Следовательно, при и любое число является корнем линейного уравнения , так как при этих условиях подстановка вместо любого числа дает верное числовое равенство . А при и линейное уравнение не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо любого числа приводит к неверному числовому равенству (см. Рис. 2).
Задача 2
Решите уравнения:
Коэффициент в данном уравнении не равен , поэтому корень данного уравнения будет равен:
Коэффициент в данном уравнении равен , а свободный член не равен нулю, следовательно, у этого уравнения решений нет.
можно представить, как . Поэтому будет равен:
Коэффициент и свободный член в данном уравнении равны , поэтому – это любое число.
Задача 3
Решите уравнения:
Для удобства выполнения деления переведем и в неправильную дробь.
представим в виде обыкновенной дроби.
Задача 4
При каких значениях выражение равно ?
Решение
Формулировка данной задачи означает, что нам необходимо найти из уравнения .
Ответ: .
Задача 5
Составьте линейное уравнение, которое имеет корень .
Решение
Общий вид линейного уравнения – это . По условию , потому необходимо найти такие
и , чтобы . Для этого выбираем любое число , например :
Число выбираем такое, чтобы равенство было верным.
Ответ: .
Эквивалентные преобразования уравненийС уравнениями можно производить следующие эквивалентные преобразования.
1. К обеим частям равенства можно прибавлять или вычитать одно и то же число. Например, к каждой части уравнения можно прибавить , равенство при этом не изменится.
2. Каждую часть уравнения можно домножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю). Например, каждую часть уравнения можно домножить на , равенство при этом сохранится.
Задача 6
При каких значениях уравнение имеет корень ?
Решение
При подстановке в уравнение должно получиться верное равенство:
После подстановки в уравнение мы получили новое линейное уравнение с переменной
и коэффициентом равным . Решим это уравнение.
Ответ: .
Задача 7
При каких значениях уравнение имеет: 1. корней; 2. корень; 3. бесконечно много корней?
Решение
Для того чтобы найти в этом линейном уравнении, необходимо разделить на . Однако может быть равным , поэтому рассмотрим два случая.
а) Если , то:
Следовательно, при : – это любое число, уравнение имеет бесконечно много решений.
б) Если , то:
Следовательно, при : уравнение будет иметь одно решение (один корень).
Ответ: 1. Не существует таких значений , при которых данное уравнение не имеет корней.
2. При – решение.
3. При – бесконечно много решений.
Итоги урока
На этом уроке мы познакомились с понятием линейного уравнения с одной переменной, узнали, как называются составные части таких уравнений. Также мы узнали, сколько решений имеет линейное уравнение с одной переменной, и рассмотрели несколько примеров с решениями.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
Мордкович А. Г., Н. П. Николаев. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение. 2010.
Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение. 2006.
Полезные ссылки
Проверь себя
Какое уравнение с одной переменной называется линейным?
Сколько корней может иметь линейное уравнение?
Задания 4.2, 4.7, 4.9, 4.20 (стр. 23-26) – Мордкович А. Г. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений.
Решите уравнения:
1. ;
2. ;
3.
При каких значениях уравнение :
а) имеет корень, равный ;
б) имеет корень, равный ;
в) не имеет корней?