04. Математический язык и математическая модель (Г. Г. Гаицгори)

Для того чтобы решить любую задачу, необходимо сделать некоторые допущения (приближения): выбрать, какие факторы мы учитываем, а какими пренебрегаем. Эта часть решения называется построением модели. Математическая модель – это условие задачи, переписанное на математическом языке (в виде уравнений, неравенств и их систем). Расчёт математической модели (решение уравнений и неравенств) – это техника, которой мы уделим много времени при дальнейшем изучении школьной математики. На этом уроке мы потренируемся выполнять первый шаг решения текстовых задач – переписывать условие на математическом языке (или, по-другому, составлять математическую модель).

Модель

Когда мы передаём какую-то информацию, мы её упрощаем. То есть передаём не всё, а только самое важное. Причём степень подробности, т. е. выделения важного, определяется целью.

Вам звонит друг и спрашивает: «Ты где?» Если вы знаете, что он заболел и сидит дома, то ответите: «В школе».

А если сейчас перемена и вы знаете, что он пошёл в столовую? Вряд ли ответ «В школе» можно назвать полезным и содержательным. Скорее всего, вы ответите: «В 305 кабинете».

На один и тот же вопрос можно давать ответы с разной степенью точности в зависимости от ситуации или цели. В жизни для описания того или иного события или задачи не нужно учитывать все возможные факторы. Более того, все учесть невозможно. То есть всегда необходимо упростить ситуацию, выделить главное, чтобы её описать. По-другому говорят «составить модель».

Математическая модель

Мы постоянно сталкиваемся с моделями. План зрительного зала – это модель настоящего зала. Она упрощает задачу – найти место в зал.

Ту же самую функцию выполняют карта страны или мира.

Когда мы идём по улице и смотрим на номера домов, то знаем, что 19-й дом будет после 15-го и 17-го. Мы это понимаем, потому что в голове у нас есть модель – натуральные числа и порядок, по которому они расположены .

Когда мы хотим решить какую-то задачу, найти какую-нибудь величину, мы тоже упрощаем. Реальные объекты мы обозначаем числами или буквами (переменными). В таком случае говорят, что мы строим математическую модель.

Построение математической модели

Задача 1

В одной вазе  яблок, во второй – Сколько всего яблок в двух вазах?

Решение

Если вы ответили , значит, вы уже успели построить математическую модель и с её помощью решить задачу.

Ответ:

Без модели эта задача решается так. В одной вазе  яблок, во второй – Ссыпаем их в одну вазу и руками пересчитываем.

Но мы поступаем не так. Все яблоки разные (разного цвета, размера), но нас интересует только их количество. Поэтому яблоки в обеих вазах мы заменяем числами, их количеством: и

Теперь нам не надо складывать яблоки вместе, а остаётся сложить только числа и  и получить

Это и есть математическая модель, математическое упрощение реальности. Действия мы произвели с моделью, но выводы сделали относительно реальной ситуации.

Кроме того, что модель упростила решение, мы с помощью неё решили сразу много реальных задач. Например, в одном дворе  машин, во втором – Сколько всего машин?

В одной комнате  человек, в другой – Сколько всего человек? Везде один и тот же ответ: .

Алгоритм решения задач при помощи математической модели

Обратите внимание: если записать количества словами – «десять» и «двенадцать», то сложить не получится. А если записать в правильном виде (т. е. в десятичной записи): , то для решения есть своя техника – сложение в столбик.

То есть цель составления математической модели – переписать задачу с русского языка на математический в таком виде, для которого есть своя техника выполнения работ.

На математике мы будем изучать много техник решения для различных математических конструкций. Зачем это нужно? Овладев техникой решения математической конструкции, мы можем решить любую задачу, которая сводится к этой конструкции.

Этот же приём мы используем в жизни: вместо того чтобы таскать кирпичи руками на 3-й, 4-й, 5-й этажи, мы придумали механизм – лебёдку, которая облегчает нашу задачу и позволяет поднять кирпичи на любой этаж.

Иногда может казаться, что изучаемая техника решения задач (решение уравнений, неравенств и т. д.) сама по себе бессмысленна. Если вас будет мучить эта мысль, попробуйте разобрать часы и посмотреть на детали, из которых они состоят. Каждая из них по отдельности кажется бесполезной для определения времени. А вот собранные вместе эти детали позволяют решить важную задачу – узнать время.

Но этот урок мы посвятим не технике решения, а более важному этапу решения задач – составлению математической модели (т. е. переписыванию условия с русского языка на математический).

Чтобы решить какую-то задачу, обычно поступают так:

1. Переходят от реальной ситуации к модели.

2. Решают модель по некоторому алгоритму.

3. Возвращаются от модели к реальной ситуации.

Уравнения в математических моделях

Очень часто математическая модель содержит уравнение. Уравнение – это аналог ситуации, когда объект неизвестен, но кое-что мы про него знаем.

Задача 2. В двух вазах  яблок, причем во второй на  больше, чем в первой. Сколько яблок в каждой вазе? (Рис. 11)

Решение

Для решения этой задачи мы составляем математическую модель. От яблок мы переходим к числам. Яблоки в каждой вазе мы заменяем числом (т.е. количеством).

Т. к. нам неизвестно количество яблок в одной вазе, то мы вводим переменную В одной вазе  яблок, во второй – на  больше, т. е. .

Таким образом,

1.  – количество яблок в первой вазе.

2.  – количество яблок во второй вазе.

Тогда всего яблок: .

Вот мы и построили математическую модель. Мы не думаем больше о яблоках, а только о том, как решить это уравнение:

Корень уравнения , тогда .

Мы решили модель. Теперь возвращаемся к реальной ситуации и получаем ответ:  – это количество яблок в первой вазе и  – во второй.

Ответ: .

Для решения этой же задачи мы могли составить другую модель.

Пусть:

1.  – количество яблок в первой вазе.

2.  – количество яблок во второй вазе.

Тогда у нас есть два условия: в двух вазах  яблок:  и во второй вазе яблок на  больше, чем в первой: . Причём эти условия должны выполняться одновременно.

В таких случаях говорят о системе уравнений и записывают следующим образом:

Фигурная скобка означает, что оба условия должны выполняться одновременно.

Обратите внимание, что для любой модели ответ в задаче получится один и тот же (при условии, что модель составлена и решена правильно).

В ответвлении вы можете подробнее узнать о системах уравнений.

Пример составления математической модели

Задача 3

Смешали два водно-солевых раствора с концентрацией и  и получили  граммов раствора с концентрацией . Сколько взяли граммов каждого раствора?

Решение

Запишем условие в другом виде.

1. Смешали два раствора и получили  граммов раствора:

2. В первом растворе содержится соли:

3. Во втором растворе содержится соли:

В смеси с одной стороны, а с другой,

Получаем ещё одно условие:

То есть

Для того чтобы не переписывать так длинно, введём удобные обозначения и , а ещё лучше ввести – и

Тогда получим систему уравнений:

Что мы сделали? Мы записали условие задачи на математическом языке. В таком виде легко будет найти ответ, решив систему уравнений.

Математические модели для задач, которые сводятся к линейным уравнениям

Для решения задач нам нужно сделать следующее.

1. Составить математическую модель (т. е. переписать условие на математическом языке).

2. Решить полученное уравнение или систему. 

Как решать полученную систему уравнений – это техника, о которой мы будем говорить позже, поскольку это отдельная задача.

Научившись решать какой-то тип уравнений или их систем, мы научимся решать целый класс задач. Например, мы умеем решать линейные уравнения:

где и  – числа,  – переменная. Поэтому мы умеем решать все задачи, условие которых можно переписать в таком виде.

Рассмотрим три такие задачи.

 У нас были совершенно разные задачи, но, составив математическую модель, мы увидели, что все эти задачи сводятся примерно к одинаковым уравнениям. Поэтому мы учимся решать не уравнения к каждой конкретной задаче, а сразу некоторый тип уравнений.

Например, в задачах, рассмотренных выше, мы везде получили линейные уравнения:

 где и  – числа,  – переменная.

Такие уравнения мы уже умеем решать, значит, умеем решать и все такие задачи.

Математические модели для текстовых задач

В завершении рассмотрим задачу, которая не застанет вас врасплох, если вы умеете составлять и решать математические модели.

Задача 4. Кирпич весит килограмм и ещё полкирпича. Сколько весит кирпич?

Эта задача нацелена на то, чтобы вы ответили сходу и дали неправильный ответ. Конечно же, ответ «полтора килограмма» неверный. А потом, когда рассказчик вам даст правильный ответ, вы должны восхититься этим фокусом. На самом деле восхищаться здесь нечем. Математическая модель даёт нам очень быстрое решение.

Решение (с использованием математической модели)

Нам неизвестна масса кирпича, поэтому обозначим её. Пусть  – масса кирпича. Тогда масса половины кирпича .

Тогда условие задачи перепишем в следующем виде: .

Это и есть наша математическая модель. Так как она сохраняет только важное для задачи, то здесь лишние слова нас не вводят в заблуждение, и мы легко решаем эту смоделированную задачу, т. е. уравнение:

Итак,  – это решение нашей модели – уравнения. Таким образом, масса кирпича равна  кг.

Ответ:

Можно решить эту задачу и без математического моделирования.

Кирпич весит килограмм и еще полкирпича. Кладем это всё на весы. Кирпич мы можем расколоть на две половины. Мы можем с обеих сторон убрать полкирпича.

То есть мы уже поняли, что полкирпича весит килограмм. Значит, весь кирпич весит кг.

Но здесь на последнем шаге мы снова применили математическую модель, а собирались без неё.

Доведём дело до конца по-честному. Раз полкирпича весит столько же, сколько гиря, то добавим слева полкирпича, а справа гирю. Склеим снова кирпич. Таким образом, масса кирпича кг.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели два этапа решения текстовых задач – составление математической модели (переписывание условия задачи на математическом языке) и техника (расчёт полученной модели). И подробно остановились на первом этапе, потренировались составлять математические модели к разным задачам.

Список рекомендованной литературы

1. Никольский С. М., Решетников Н. Н., Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, изд-во «Просвещение», 2017.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра. 7 класс. Учебник, изд-во «Просвещение», 2014.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, изд-во «Просвещение», 2013.

Проверь себя

1. В одной кассе кинотеатра продали на  билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если всего было продано  билета?

2. Двое рабочих изготовили  деталей, причём первый изготовил на  деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

3. На путь по течению реки пароход затратил  ч, а на обратный путь –  ч. Скорость течения  км/ч. Какова скорость парохода в стоячей воде?