10. Многочлены. Обзор

На этом уроке мы вспомним основные определения, связанные с многочленами, вспомним теоремы о степенях, разберём примеры на приведение одночлена и многочлена к стандартному виду, на разложение многочлена на множители, вспомним формулы сокращённого умножения, разберём пример деления многочленов.

Основные определения, приведение одночлена к стандартному виду, напоминание теоретических фактов об одночленах и степенях; формулировка основных определений

Начнём с определения: многочлен – это алгебраическая сумма одночленов, а одночлен – это произведение чисел и степеней. То есть одночлен является частным случаем многочлена. Все действия с одночленами, а значит и с многочленами, упираются в действия со степенями.

Рассмотрим пример:Нам задан одночлен – произведение чисел и степеней, и чтобы выполнять с ним какие-то действия, вспомним действия со степенями:- определение степени с натуральным показателем, здесь– основание степени,– показатель степени;
штук;
при;

Вернёмся к примеру. Вспомним, что каждый одночлен первым делом нужно привести к стандартному виду, а именно перемножить сначала все коэффициенты, а после этого соответствующие степени, причём согласно выше записанному закону, показатели степеней складываются.

.

У данного одночлена- коэффициент одночлена, а- буквенная часть.

Решение примера на приведение подобных членов многочлена

Существуют подобные одночлены – это такие, у которых одинаковая буквенная часть.

Рассмотрим операцию приведения подобных членов в многочлене:

Первым действием нужно привести все одночлены, входящие в состав данного многочлена, к стандартному виду, а если уже есть многочлены в стандартном виде и мы видим, что они подобны, сразу выполнить над ними заданные действия. Данная операция называется приведением многочлена к стандартному виду. Получим:.

Дальше этот многочлен упростить невозможно.

Перечисление и описание действий над многочленами

Какие действия можно выполнять над многочленами в стандартном виде? Их можно складывать и вычитать, так как при этом мы все равно получаем новый многочлен. Многочлены можно умножать и возводить в степень, только некоторые многочлены можно делить.

Напоминание формул сокращённого умножения

Для упрощения операции умножения многочленов существуют формулы сокращённого умножения.  Вспомним некоторые:- квадрат суммы (разности), и могут быть любыми выражениями;- разность квадратов;- разность кубов;- сумма кубов.

Методы разложения многочленов на множители

Вспомним разложение многочленов на множители.

Метод 1: вынесение общего множителя за скобки. Рассмотрим пример:

Комментарий: находим общий множитель у всех одночленов, а в буквенной части выносим переменную в наименьшей степени; чтобы найти, что останется в скобках, нужно все одночлены поделить на выносимый множитель и результат записать с учётом знаков в скобку.

Данный метод можно использовать только в том случае, если абсолютно у всех одночленов, входящих в состав данного многочлена, есть общий множитель.

Метод 2: метод группировки. Применяется, когда у одной группы одночленов один общий множитель, у второй группы - другой:

Комментарий: в данном случае сгруппированы первый одночлен со вторым, третий с четвёртым, после вынесения общих множителей у них мы видим в скобках одинаковое выражение, а значит можно теперь применить к полученному выражению первый метод и ещё его упростить.

Метод 3 – использование формул сокращённого умножения:

Комментарий: мы может заметить, что оба одночлена – это кубы некоторых выражений, а именноиИсходя из этого, несложно догадаться, что перед нами разность кубов и, применяя формулу, разложим выражение на скобки.

Метод 4 – выделение полного квадрата:


Комментарий: в данном примере мы видим переменную в квадрате и в первой степени, а значит, можем попробовать выделить полный квадрат. Для этого разберём подробно выражение: квадрат первого слагаемого – это, значит первое слагаемоеДалее стоит удвоенное произведение, выделим в нём двойку и первое слагаемое, получимПричём, перед удвоенным произведением стоит знак минус, значит мы уже знаем, что выделяем квадрат разности. Далее необходимо получить квадрат второго слагаемого, а в нашем случае квадрат вычитаемого. А из удвоенного произведения мы выяснили, что вычитаемое – это число, то есть мы должны прибавить, чтобы выделить полный квадрат. Но чтобы не нарушать исходное выражение, мы должны его тут же отнять. После выделения полного квадрата и приведения подобных несложно заметить разность квадратов, которую мы также расписываем по формуле.

Напомним, что после разложения многочлена на множители можно выполнить проверку, а именно перемножить между собой полученные скобки, и если результат совпадет с исходным выражением, значит разложение выполнено верно.

Решение примера на деление многочленов

Перейдём к делению. Если мы разделим один многочлен на другой, то получим алгебраическую дробь. Рассмотрим пример:

В операции деления один из самых важных моментов – это сокращение алгебраической дроби, а чтобы её сократить, нужно многочлены в числителе и знаменателе разложить на множители любым из методов.

Комментарий: в данном случае применим для разложения на множители формулы сокращённого умножения, причём в этом примере их очень легко увидеть, так как они записаны именно в том виде, в котором мы их выучили. Очевидно, что в числителе стоит квадрат суммы, а в знаменателе разность квадратов. После разложения имеем право сократить общий множитель. Обратим внимание, что при сокращении на какое-либо выражение следует указать, что оно не равно нулю. Удобно ещё в исходной дроби указать ОДЗ, в нашем случае это

Вывод: в данном уроке мы разобрали примеры на приведение многочлена к стандартному виду, разложение многочлена на множители и деление многочленов.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Uztest.ru (Источник).

Проверь себя

1. Привести к стандартному виду:
   1);
   2); 
   3);
   4).

2. Разложить на множители:
   1);
   2);
   3);
   4).

3. Разделить:
   1);
   2);
   3).