11. Одночлены (Г. Г. Гаицгори)

Решение задачи состоит из двух этапов: составления математической модели и расчёта этой модели (техника). Сейчас мы занимаемся вторым этапом – отработкой техники. Для этого нам понадобятся различные инструменты. Одним из важнейших таких инструментов являются многочлены, о которых мы поговорим на следующем уроке. А на этом уроке мы поговорим об одночленах – «кирпичиках», из которых состоят многочлены.

Составление математической модели для решения задач

Мы знаем, что решение задачи можно разбить на два этапа: составление математической модели и расчёт полученной модели (техника). Рассмотрим такой пример.

Пример 1

Два килограмма огурцов и три килограмма помидоров стоят  рублей. А три килограмма огурцов и два килограмма помидоров стоят  рублей. Сколько стоит килограмм огурцов и килограмм помидоров?

Решение:

Обозначим стоимость килограмма огурцов за  рублей, а стоимость килограмма помидоров – за  рублей.

Тогда первое предложение условия можно переписать в виде: .

А второе предложение условия так: .

Необходимо найти .

Получаем систему уравнений:

На этом первый этап решения (составление математической модели) окончен.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример 2

В ведро и бочку налили  литров воды. А в два ведра и три бочки налили  литров воды. Каков объём одного ведра и одной бочки?

Решение:

Обозначим объём одного ведра за  литров, а объём одной бочки – за  литров.

Тогда первое предложение условия можно переписать в виде:

А второе предложение условия так:

Необходимо найти.

Получаем систему уравнений:

В двух разных задачах у нас получились две системы уравнений. С одной стороны, у них разные коэффициенты, но, с другой стороны, обе они являются частным случаем следующей системы уравнений:

где  – произвольные числа.

Решение обеих задач мы разбили на два этапа. Первый этап – получение эквивалентной записи условия (в виде системы линейных уравнений), а второй этап – чисто математический (техника).

Для второго этапа нужно научиться решать уравнения (системы уравнений) независимо от того, что обозначают  или

Для этого понадобится умение работать с алгебраическими выражениями.

Ближайшие уроки будут посвящены отработке именно этого навыка. Мы будем работать с различными выражениями, которые могут казаться ненужными, но без них нельзя будет перейти к работе с более сложными конструкциями. Так, шестерёнка сама по себе не нужна, но в комплекте с другими деталями она, например, помогает нам узнавать время, обеспечивая работу часов.

Одночлены

Рассмотрим выражение:

Если раскроем скобки (используя распределительный закон), получим:

Это выражение можно упростить: мы знаем, что , поэтому: , получаем:

Полученная в правой части сумма называется многочленом. Подробнее о работе с многочленами мы поговорим на следующем уроке.

Пока давайте поговорим о причинах выбора такого названия. Многочлен состоит из суммы нескольких членов, в нашем примере: . Такие «атомы», из которых сложен многочлен, называются одночленами.

Приведение одночленов к стандартному виду

Что общего у этих трёх выражений? Мы видим, что они состоят из произведения числа и переменных. Например:  – тоже одночлен. Но в таком виде работать с одночленами неудобно. Действительно, если нам встретится выражение: 
, то оно тождественно равно но заметить это не так-то просто.

Вот если мы перемножим отдельно числа, а отдельно переменные (заменив произведение одинаковых переменных на их степени), то результат вычитания будет виден сразу:

Преобразование, которое мы выполнили с одночленами, называется приведением одночлена к стандартному виду:где – числовой коэффициент,  – буквенные переменные.

Упражнение 1

Определить, является ли одночленом выражение.

В этой таблице только в трёх клетках находятся выражения, которые не являются одночленами:

 – это выражение содержит сумму, поэтому не является одночленом.

 – это выражение содержит деление, поэтому не является одночленом.

 – это выражение содержит сумму, поэтому не является одночленом.

Упражнение 2

Привести одночлены к стандартному виду, определить их коэффициенты:

Общая схема решения таких заданий: перемножить отдельно числовые множители, отдельно – степени с одинаковыми основаниями.

1. Воспользуемся свойством степени  и приведём одночлен к стандартному виду:

2. Отдельно умножим числа и степени с одинаковыми основаниями:

Подобные одночлены

Зачем нужно уметь приводить одночлены к стандартному виду? Как мы уже убедились в рассмотренном примере, это позволяет упростить выполнение различных действий с одночленами.

Действительно, чтобы складывать или вычитать объекты, необходимо убедиться, что они одинаковые, а это значительно проще сделать для одночленов, записанных в стандартном виде:  (достаточно сравнить показатели степеней каждой из переменных).

Такие одночлены, у которых в стандартном виде одинаковые буквенные части, называют подобными (например, и ).

Привести подобные слагаемые – сложить все подобные одночлены в выражении:

Подобные слагаемые мы приводим с помощью распределительного закона, записанного справа налево:

Например:

Если одночлены записаны в стандартном виде, то с ними несложно выполнять различные арифметические операции.

Упражнение 3. Упростить выражения:

1.

Сначала приведём одночлены к стандартному виду:

А теперь найдём подобные и сложим их:

Получаем:

2.

Приведём подобные:

Получаем:

3.

Умножим отдельно числа и отдельно степени с одинаковым основанием. Воспользуемся свойством степени :

Получаем:

4.

Воспользуемся следующими свойствами степени или  и :

Получаем:

5.

Сначала возведём первую скобку в степень, используя свойства  и :

Теперь умножим одночлены:

Получаем:

6.

Сначала возведём обе скобки в степень:

Теперь умножим одночлены:

Получаем:

Заключение

На уроке мы ввели новое понятие – одночлены, а также научились с ними работать. И хотя сами по себе одночлены не нужны, но без умения работать с ними мы не сможем перейти к изучению более сложных объектов.

Список литературы

1. Никольский С. М., Решетников Н. Н., Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра. 7 класс. Учебник. – ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра. 7 класс. Учебник. – Издательство «Просвещение», 2014.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. – Издательство «Просвещение», 2013.

Проверь себя

1. Привести одночлен к стандартному виду и указать его коэффициент:.

2. Привести подобные одночлены:.

3. Найти значение одночлена  при .