Одночлены

На данном уроке мы вспомним основные теоретические понятия, касающиеся одночленов, и теоремы о степенях, на которой они базируются. Мы вспомним основные типовые задачи и рассмотрим примеры их решения.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Напоминание теоретических основ

Напомним определение одночлена: одночленом называют произведение чисел и переменных, возведённых в степени с натуральным показателем. Иначе говоря, одночлен – это произведение степеней. Например,– одночлен. В нём мы можем перемножить между собой числа и степени с одинаковым основанием, поэтому важную роль при работе с одночленами играют теоремы о степенях. Напомним их:;при;.

Мы привели правила работы со степенями с одинаковым основанием – основание остаётся неизменным, а определённые действия производятся с показателями. Если же у степеней одинаковые показатели, но разные основания, действуют другие правила:;,

Приведение одночлена к стандартному виду

Вернёмся к заданному одночлену:

Первым делом его нужно привести к стандартному виду, то есть перемножить числа – получить численный коэффициент, и соответствующие степени – получить буквенную часть:

В данном одночлене– численный коэффициент, а– буквенная часть.

Арифметические операции над одночленами

После того, как одночлен приведён к стандартному виду, с ним можно производить различные действия. Если задано несколько одночленов, и они имеют одинаковую буквенную часть, то мы имеем право их складывать и вычитать. Кроме того, любые одночлены можно умножать и возводить в степень, также можно одночлены делить, но с некоторой оговоркой. Рассмотрим пример:

Пример 1:

Комментарий: очевидно, что одночлены имеют одинаковую буквенную часть, значит, мы имеем право их вычитать. Для этого мы вычтем коэффициенты, а буквенную часть перепишем без изменений.

Как уже было сказано, умножать можно любые одночлены, так как, умножив одночлен на одночлен, мы получим новый одночлен, который нужно будет только привести к стандартному виду.

Пример 2:

Комментарий: в результате умножения двух одночленов мы получили новый одночлен и привели его к стандартному виду – перемножили числа и степени, получили численный коэффициент и буквенную часть.

Пример 3:

Комментарий: отметим, что возведение в степень – это умножение одночлена на самого себя некоторое количество раз. Для возведения одночлена в натуральную степень каждый его элемент – численный коэффициент и каждую степень – возводят в нужную степень.

Было сказано, что можно выполнять деление одночленов, но с некоторой оговоркой. Рассмотрим примеры.

Пример 4:

Комментарий:

Комментарий: в первом случае деление одночленов возможно, это значит, что при делении одночленов мы получаем новый одночлен. Во втором случае при делении одночленов мы получили алгебраическое выражение.

Решение основных типовых задач

Перейдём к рассмотрению типовых задач.

Пример 5: упростить выражение:

Итак, приведём новый одночлен к стандартному виду – получим численный коэффициент и буквенную часть:

Пример 6: упростить выражение:

Выполним возведение одночленов в степень, после этого упростим числитель – умножим одночлены, затем выполним деление:

Пример 7: решить уравнение:

Буквенная часть одночленов одинаковая, значит, мы имеем право их сложить:

В этом элементарном уравнении очевиден ответ:

Нам было задано простейшее уравнение и требовалось только найти его корень, но чаще это уравнение сперва нужно составить – как, например, при решении текстовых задач.

Пример 8: туристы были в походе дня. В первый день они прошливсего пути, во второй деньоставшегося пути, и в третий день км. Найти общую длину пути.

Для решения задачи применим метод математического моделирования.

Этап 1 – составление математической модели:

Обозначим весь пройденный туристами путь за километров, в таком случае, в первый день они прошликилометров, таким образом, им осталось пройтикилометров, тогда во второй день они прошли треть оставшегося пути –, и в третий день километров. Составим схему (рис. 1):

Запишем общий путь в виде уравнения:

Математическая модель составлена.

Этап 2 – работа с математической моделью: найдём корни составленного уравнения. Все неизвестные перенесем влево, а свободные члены – вправо:

В левой части его стоят одночлены с одинаковой буквенной частью – имеем право их сложить:

Сократим дробь:

Умножим обе части уравнения на 11:

Разделим обе части уравнения на 5:

Этап 3 – ответ на вопрос задачи: мы нашли, за было принято расстояние, пройденное туристами, что и нужно было найти в задаче, таким образом, даём ответ: путь, пройденный туристами, составляет километров.

Рассмотрим шуточную задачу.

Пример 9: задумайте число. Прибавьте к нему Отнимите Отнимите задуманное число. Прибавьте Вы получили число

Каким образом получился такой «фокус»? мы попросили человека задумать число, а через несколько действий задуманное число отнять, опишем последовательность, обозначив задуманное число за :

Упростив выражение, получаем то есть независимо от задуманного числа вы можете предугадать результат, запоминая заданные числа.

Задачу можно усложнить:

Задумайте число. Прибавьте Умножьте результат на Прибавьте Отнимите задуманное число. Прибавьте Отнимите задуманное число. Прибавьте

Опишем последовательность, обозначив число за :

Упростим полученное выражение:

Результат снова не зависит от задуманного числа, нужно только запомнить, что вы попросили прибавлять и отнимать.

Выводы по уроку

На данном уроке мы вспомнили основные определения и свойства одночленов, типовые задачи, с ними связанные. Мы решили различные примеры, чтобы вспомнить и окончательно закрепить технику работы с одночленами.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Проверь себя

1. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 469, с. 104.

2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 472, с. 104.

3. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С., Алгебра 7, № 288, с. 61.