01. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена

Понятие одночлена, примеры одночленов и «не одночленов»

Рассмотри некоторые примеры:

1. ;

2. ;

3. ;

Найдём общие черты для приведённых выражений. Во всех трёх случаях выражение является произведением чисел и переменных, возведённых в степень. На основании этого дадим определение одночлена: одночленом называют такое алгебраическое выражение, которое состоит из произведения степеней и чисел.

Теперь приведём примеры выражений, не являющихся одночленами:

4. ;

5.;

6. ;

7. ;

Найдём отличие этих выражений от предыдущих. Оно состоит в том, что в примерах есть операции сложения, вычитания или деления, тогда как в примерах , являющихся одночленами, этих операций нет.

Приведём ещё несколько примеров:

8. ;

9. ;

Выражение под номером является одночленом, так как это произведение степени на число, тогда как пример не является одночленом.

Описание операции упрощения, определение понятий коэффициента и буквенной части одночлена

Теперь выясним действия над одночленами.

1.Упрощение. Рассмотрим пример № 3; и пример № 2

Во втором примере мы видим только один коэффициент - , каждая переменная встречается только один раз, то есть переменная представлена в единственном экземпляре, как , аналогично переменные и встречаются только один раз.

В примере № 3 наоборот, есть два различных коэффициента –и, переменную мы видим дважды – как и как , аналогично переменная встречается два раза. То есть, данное выражение следует упростить, таким образом, приходим к первому действию, выполняемому над одночленами – приведение одночлена к стандартному виду. Для этого приведём к стандартному виду выражение из примера затем определим эту операцию и научимся приводить к стандартному виду любой одночлен.

Итак, рассмотри пример:

Первым действием в операции приведения к стандартному виду всегда нужно перемножить все числовые множители:
;

Результат данного действия будет называться коэффициентом одночлена.

Далее необходимо перемножить степени. Перемножим степени переменной согласно правилу умножения степеней с одинаковыми основаниями, в котором говорится, что при умножении показатели степени складываются:;

теперь перемножим степени :;

Итак, приведём упрощённое выражение:
;

Дальше упростить данное выражение нельзя, такое выражение и называется стандартным видом исходного одночлена, где это коэффициент одночлена, а– это буквенная часть.

Формулировка правила приведения одночлена к стандартному виду, решение примеров

Любой одночлен можно привести к стандартному виду. Сформулируем правило приведения к стандартному виду:

• перемножить все числовые множители;

• поставить полученный коэффициент на первое место;

• перемножить все степени, то есть получить буквенную часть.

То есть, любой одночлен характеризуется коэффициентом и буквенной частью. Забегая вперед, отметим, что одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными.

Теперь нужно наработать технику приведения одночленов к стандартному виду. Рассмотри примеры из учебника:

Задание: привести одночлен к стандартному виду, назвать коэффициент и буквенную часть.

Для выполнения задания воспользуемся правилом приведения одночлена к стандартному виду и свойствами степеней.

1.  ;

2.  ;

3.  .

Комментарии к первому примеру: Для начала определим, действительно ли данное выражение является одночленом, для этого проверим, есть ли в нём операции умножения чисел и степеней и нет ли в нём операций сложения, вычитания или деления. Можем сказать, что данное выражение является одночленом, так как вышеуказанное условие выполняется. Далее, согласно правилу приведения одночлена к стандартному виду, перемножим численные множители:– мы нашли коэффициент заданного одночлена.

Далее перемножим между собой соответствующие степени:;;; то есть, получена буквенная часть выражения:.

Запишем ответ:.

Комментарии ко второму примеру: Следуя правилу выполняем:

1) перемножить числовые множители:;

2) перемножить степени:

Переменныеипредставлены в единственном экземпляре, то есть их перемножить ни с чем нельзя, они переписываются без изменений, степеньперемножается:; запишем ответ:
;

В данном примере коэффициент одночлена равен единице, а буквенная часть.

Комментарии к третьему примеру: аналогично предыдущим примерам выполняем действия:

1) перемножить численные множители:;

2) перемножить степени:;;;.

Выпишем ответ:.

В данном случае коэффициент одночлена равен «», а буквенная часть.          

Описание операции вычисления конкретного численного значения одночлена, решение примеров

Теперь рассмотрим вторую стандартную операцию над одночленами. Поскольку одночлен это алгебраическое выражение, состоящее из буквенных переменных, которые могут принимать конкретные числовые значения, то мы имеем арифметическое числовое выражение, которое следует вычислить. То есть, следующая операция над многочленами состоит в вычислении их конкретного числового значения.

Рассмотрим пример. Задан одночлен:данный одночлен уже приведён к стандартному виду, его коэффициент равен единице, а буквенная часть.

Ранее мы говорили, что алгебраическое выражение не всегда можно вычислить, то есть переменные, которые в него входят, могут принимать не любое значение. В случае одночлена же входящие в него переменные могут быть любыми, это является особенностью одночлена. 

Итак, в заданном примере требуется вычислить значение одночлена при,,,.

Выполним действия:
 .

Для вычисления мы воспользовались тем, чтов любой чётной степени равно единице.

То есть, заданный одночлен при заданных значениях буквенных переменных будет принимать рассчитанное нами значение.

Рассмотрим ещё один пример. Одночлен остаётся тот же самый, но значения буквенных переменных изменились:;; выполним вычисление:
.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Проверь себя

1. Определить, является ли выражение одночленом:

а);
b);
c);
d);
e).

1. Привести одночлен к стандартному виду? Указать коэффициент и буквенную часть:

a);
b);
c);
d);
e).

1. Вычислить конкретное значение одночлена при заданных числовых значениях переменных:

a)

b)

c)