09. Практика. Линейные уравнения и их системы

На этом уроке мы потренируемся решать линейные уравнения, системы, а также различные текстовые задачи, которые к ним сводятся.

Решение линейных уравнений

Пример 1. Решить уравнение: .

Решение

Вспомним, что деление, по определению, операция, обратная умножению (деление на какое-либо число – это то же самое, что и умножение на обратное к этому числу):

Разделим обе части уравнения на  или умножим на 3:

Упростим выражение в левой части уравнения:

Упростим выражение в правой части уравнения:

Таким образом, решением уравнения будет: .

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение

Перенесём все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую:
.

Упростим уравнение – выполним действия в обеих частях уравнения: .

Разделим обе части уравнения на :

Решением уравнения является .

Ответ: 5.

Пример 3. Решить уравнение:

Решение

Раскроем скобки в правой и левой частях уравнения. Для выражения в левой части уравнения используем распределительный закон:

Тогда

Вспомним, что если перед скобками стоит знак минус, то при раскрытии скобок все знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположный:

Перепишем уравнение после применения преобразований:

Как и в предыдущем примере, перенесём все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую:

Выполнив действия в обеих частях уравнения, получим тождество: .

Таким образом, данное равенство верно всегда, при любых значениях переменной.

Ответ:  – любое число.

Пример 4. Решить уравнение:

Решение

Раскроем скобки в правой и левой частях уравнения, используя распределительный закон .

Перенесём все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую:

Получаем .

Данное равенство неверно всегда, т. е. оно не выполняется ни при каких значениях переменной.

Ответ: нет решений.

Пример 5. Решить уравнение: .

Решение

Избавимся от знаменателей дробей – умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей, т. е. число :

Получим:

Выполним сокращения и избавимся от знаменателей:

Раскроем скобки:

Перенесём все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую:

Выполнив действия в обеих частях уравнения, получим следующее уравнение: .

Найдём :

Ответ: .

Системы линейных уравнений

В общем виде системы линейных уравнений выглядят следующим образом:

где  – переменные, – произвольные числа.

Есть несколько методов решения систем уравнений.

1. Метод подстановки.

2. Метод сложения.

3. Графический метод.

Решение систем линейных уравнений

Пример 6. Решить систему:

Решение (несколько способов)

1. Метод подстановки – необходимо в уравнении выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение.

Из первого уравнения выразим , для этого перенесём  из левой части уравнения в правую:

Затем умножим обе части первого уравнения на :

Теперь подставим во второе уравнение полученное выражение:

Теперь во втором уравнении только одна переменная , решим его (мы уже умеем это делать – получилось обычное линейное уравнение с одной переменной).

Раскроем скобки во втором уравнении:

Во втором уравнении перенесём все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую:

Выполним действия в обеих частях второго уравнения:

Найдём :

Подставим в первое уравнение найденное значение переменной:

Решением системы будет:

Ответ: .

2. Метод сложения – нужно преобразовать уравнения так, чтобы при одной переменной в разных уравнениях были противоположные коэффициенты, после этого нужно сложить правые и левые части уравнений.

Избавимся от переменной . Умножим первое уравнение на :

Теперь система имеет вид:

Сложим уравнения системы:

Получим следующее уравнение:

Выполним действия: .

Найдём
.

Подставим найденное значение в любое из уравнений исходной системы, например, в первое:

Выразим :

Решением системы будет:

Ответ: .

3. Графический метод

Сначала перепишем каждое из уравнений так, чтобы они задавали линейную функцию в привычном для нас виде , т. е. выразим  через :

Графиком линейной функции является прямая. Построим обе прямые по двум точкам. Вместо  возьмём произвольные значения и подставим их в соответствующие уравнения прямых:

Отметим точки на координатной плоскости и проведём через них прямые (рис. 1).

Видно, что точкой пересечения прямых является точка с координатами . Поскольку точка лежит на каждой из прямых, а прямая – это множество решений уравнения, то точка пересечения прямых является решением каждого из уравнений, т. е. является решением системы. Координаты точки пересечения и будут решением системы.

Дополнительно нужно подставить координаты точки в исходную систему, чтобы убедиться в правильности:

Ответ: .

Пример 7. Решить систему:

Решение

Сначала упростим уравнения системы – избавимся от знаменателей дробей. Для этого умножим каждое уравнение на общий знаменатель дробей, которые в него входят (чтобы найти это число, нужно рассмотреть наименьшее общее кратное чисел, которые стоят в знаменателе):

Получим:

Выполним сокращения и избавимся от знаменателей:

Раскроем скобки:

Приведём подобные слагаемые:

Умножим второе уравнение на :

Сложим уравнения системы:

Получим уравнение:

Выполним действия:

Найдём : .

Подставим в первое уравнение найденное значение переменной:

Решением системы будет:

Ответ: .

Задачи, решение которых сводятся к линейным уравнениям и их системам

Задача 1

Провод длиной  метров разрезали на  части, причём первая часть в  раза длиннее третьей, а вторая – на  метров длиннее третьей. Найти длину каждой части провода.

Решение

1. Провод длиной  метров разрезали на  части:

Первая часть в  раза длиннее третьей:

Вторая часть на  метров длиннее третьей:

Теперь всё выражено через часть поэтому все замены можно переписать так:

2. Обозначим длину части  за :

Перенесём все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую:

Выполним действия: .

Найдём  – длину части : .

3. Найдём длину части : м

Часть :  м

Ответ:  метров;  метров;  метров.

Задача 2

Из села в город легковой автомобиль доехал за  ч, а грузовой – за  ч (pис. 3). Найти скорость движения каждого автомобиля, если скорость грузового автомобиля на  км/ч меньше скорости легкового.

Решение

Введём обозначения:

1. Легковой автомобиль:  – его скорость,  – время,  – путь, который он проходит.

2. Грузовой автомобиль:  –скорость,  – время,  – путь, который он проходит.

Перепишем условие задачи в новых обозначениях:

 – автомобили проехали одно и то же расстояние

Воспользуемся следующей формулой: . Тогда:

Так как , то . Используем оставшееся условие  и получим следующую систему:

Такую систему будем решать методом подстановки – подставим первое уравнение во второе:

Раскроем скобки: .

Перенесём все слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а без переменной – в другую: .

Найдём : .

Таким образом, скорость легкового автомобиля:  км/ч.

Найдём скорость грузового автомобиля: подставим найденное значение  в уравнение :  км/ч.

Ответ:  км/ч;  км/ч.

Задача 3

Токарь планировал изготавливать ежедневно по  детали, чтобы выполнить задание вовремя. Но он изготавливал ежедневно на  деталей больше и уже за  дней до окончания срока работы сделал  деталь сверх плана. За сколько дней токарь планировал выполнить задание?

Решение

Введём обозначения:

1. Токарь планировал: сделать работу  со скоростью  за время .

2. Получилось: сделал работу  со скоростью  за время .

Перепишем условие задачи в новых обозначениях:

деталь/день

деталь/день

Воспользуемся формулой:

Тогда:

Если ; , то .

Подставим  в предыдущее уравнение:

Раскроем скобки:

Перенесём все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую:

Выполним действия:

Найдём : .

Ответ:  дней.

Задачи. Системы линейных уравнений

Задача 4

Лодка за  ч движения по течению реки и  ч против течения проходит  км. Найти скорость лодки по течению и её скорость против течения, если за  ч движения против течения она проходит такой же путь, как и за  ч по течению.

Решение

Введём обозначения:

1. Скорость лодки по течению: .

2. Скорость лодки против течения: .

Воспользуется формулой: .

Лодка за  ч движения по течению реки и  ч против течения проходит  км, тогда

За  ч движения против течения она проходит такой же путь, как и за  ч по течению:

Запишем полученную систему линейных уравнений:

Воспользуется методом подстановки. Во втором уравнении выразим  через  – разделим обе части уравнения на :

Подставим полученное значение  в первое уравнение:

Выполним действие:

Найдём :

Найдём :

Ответ:  км/ч;  км/ч.

Задача 5

В двух ящиках лежат яблоки. Если из первого ящика переложить во второй  яблок, то в обоих ящиках их станет поровну. Если же из второго ящика переложить в первый  яблок, то в первом станет в  раза больше яблок, чем во втором. Сколько яблок лежит в каждом ящике?

Решение

Пусть изначально в первом ящике было  яблок, а во втором –  яблок. Если из первого ящика переложить во второй  яблок, то в обоих ящиках их станет поровну:

Если же из второго ящика переложить в первый  яблок, то в первом станет в  раза больше яблок, чем во втором:

Запишем полученную систему линейных уравнений:

Раскроем скобки во втором уравнении:

В обоих уравнениях выразим  через :

Воспользуемся методом подстановки – подставим выражение во второе уравнение:

Во втором уравнении перенесём все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую:

Найдём  – количество яблок во втором ящике:

Подставим найденное значение в первое уравнение и найдём  – количество яблок в первом ящике:

Ответ:

Задача 6

Один металлический сплав содержит  меди, другой –  меди (pис. 8). Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить  кг сплава, содержащего  меди?

Решение
Пусть необходимо взять  кг первого сплава и  кг второго сплава. Тогда .

Теперь посчитаем массу меди, она составляет:

Мы знаем, что  – это  от чего-то (pис. 10), значит,  - это , т. е.  от  – это . Аналогично  от  – это , а  от  – это .

Запишем уравнение:

Запишем полученную систему линейных уравнений:

В первом уравнении выразим  через :

Воспользуемся методом подстановки – подставим первое уравнение во второе:

Раскроем скобки во втором уравнении:

Во втором уравнении оставим слагаемые с переменной в левой части уравнения, а без переменной перенесём в правую:

Выполним действия:

Найдём  – количество кг второго сплава, которое необходимо взять:

Найдём  – количество кг первого сплава:

Ответ:  кг;  кг.

Задача 7

Сумма цифр двузначного числа равна Если поменять местами его цифры, то получим число, которое больше данного на Найти данное число.

Решение

Обозначим двузначное число так: . Сумма цифр двузначного числа  равна : .

Если поменять местами его цифры, то получим следующее число: . Так как в числе  десятков и  единиц, то , а в числе  десятков и  единиц, значит, .

Число  на  больше, чем , поэтому

Перенесём все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую:

Запишем полученную систему линейных уравнений:

В первом уравнении выразим  через :

Воспользуемся методом подстановки – подставим это выражение во второе уравнение:

Во втором уравнении раскроем скобки:

Перенесём все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую и выполним действия:

Найдём  – число единиц в числе :

Найдём  – число десятков в числе :

Таким образом, исходным числом является

Ответ:

Заключение

На этом уроке мы потренировались решать различные уравнения и системы линейных уравнений, а также задачи, которые к ним сводятся.

Список рекомендованной литературы

1. Никольский С. М., Решетников Н. Н., Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, изд-во «Просвещение», 2017.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра. 7 класс. Учебник, изд-во «Просвещение», 2014.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, изд-во «Просвещение», 2013.

Проверь себя

1. Решите уравнение: .

2. Решите графически систему уравнений:

3. Три утёнка и четыре гусёнка весят 2500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят

   2400 г. Сколько весит один гусёнок?