02. Приведение многочленов к стандартному виду. Типовые задачи

На данном уроке мы вспомним основные определения данной темы и рассмотрим некоторые типовые задачи, а именно приведение многочлена к стандартному виду и вычисление численного значения при заданных значениях переменных. Мы решим несколько примеров, в которых будет применяться приведение к стандартному виду для решения разного рода задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Решение первой типовой задачи на приведение многочлена к стандартному виду

Напомним основное определение: многочлен – это сумма одночленов. Каждый одночлен, входящий в состав многочлена как слагаемое называется его членом. Например:

• – двучлен;

• – многочлен;

• – двучлен.

Поскольку многочлен состоит из одночленов, то первое действие с многочленом следует отсюда – нужно привести все одночлены к стандартному виду. Напомним, что для этого нужно перемножить все численные множители – получить численный коэффициент, и перемножить соответствующие степени – получить буквенную часть. Кроме того, обратим внимание на теорему о произведении степеней: при умножении степеней показатели их складываются.

Рассмотрим важную операцию – приведение многочлена к стандартному виду. Пример:

Комментарий: чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести к стандартному виду все одночлены, входящие в его состав, после этого, если есть подобные одночлены – а это одночлены с одинаковой буквенной частью – выполнить действия с ними.

Итак, мы рассмотрели первую типовую задачу – приведение многочлена к стандартному виду.

Решение второй типовой задачи на вычисление конкретного значения многочлена

Следующая типовая задача – вычисление конкретного значения многочлена при заданных численных значениях входящих в него переменных. Продолжим рассматривать предыдущий пример и зададим значения переменных:

.

Комментарий: напомним, что единица в любой натуральной степени равна единице, а ноль в любой натуральной степени равен нулю, кроме того, напомним, что при умножении любого числа на ноль получаем ноль.

Решение различных задач на применение двух типовых операций

Рассмотрим ряд примеров на типовые операции приведения многочлена к стандартному виду и вычисление его значения:

Пример 1 – привести к стандартному виду:

Комментарий: первое действие – приводим одночлены к стандартному виду, нужно привести первый, второй и шестой; второе действие – приводим подобные члены, то есть выполняем над ними заданные арифметические действия: первый складываем с пятым, второй с третьим, остальные переписываем без изменений, так как у них нет подобных.

Пример 2 – вычислить значение многочлена из примера 1 при заданных значениях переменных:

Комментарий: при вычислении следует вспомнить, что единица в любой натуральной степени это единица, при затруднении вычислений степеней двойки можно воспользоваться таблицей степеней.

Пример 3 – вместо звёздочки поставить такой одночлен, чтобы результат не содержал переменной :

Комментарий: независимо от поставленной задачи, первое действие всегда одинаково – привести многочлен к стандартному виду. В нашем примере это действие сводится к приведению подобных членов. После этого следует ещё раз внимательно прочитать условие и подумать, каким образом мы можем избавиться от одночлена Oчевидно, что для этого нужно к нему прибавить такой же одночлен, но с противоположным знаком - Далее заменяем звёздочку этим одночленом и убеждаемся в правильности нашего решения.

Пример 4 – привести многочлен  к стандартному виду и записать его по убывающим степеням если его переменная  – это тоже многочлен, зависящий от :

, ;

.

Комментарий: для решения такого типа задач нужно подставить в исходный многочлен  выражение второго заданного многочлена – в данном случае после этого выполнить необходимые действия – в данном случае раскрыть скобки, а после этого привести полученный многочлен к стандартному виду.

Пример 5 – привести многочлен к стандартному виду и определить, при каких значениях переменной он равен единице:

;

;

, 

.

Комментарий: выполним приведение к стандартному виду – в данном случае приведение подобных членов, а после этого решим элементарное уравнение.

Вывод: в данном уроке мы научились решать основные типовые задачи на многочлены, выполнили несколько различных примеров для закрепления техники.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Проверь себя

Задание 1: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7, № 670, стр. 181.

Задание 2: Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 238, стр. 96.

Задание 3: Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 241, стр. 96.