02. Приведение одночлена к стандартному виду; задачи

Решение задач на приведение одночленов к стандартному виду

На предыдущем уроке было сформулировано определение одночлена, стандартного вида одночлена. Данный урок мы начнём с того, что решим несколько задач на приведение одночлена к стандартному виду и сопутствующих задач.

Задача 1: привести данные одночлены к стандартному виду, указать одночлены с одинаковой буквенной частью.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Напомним правило приведения одночлена к стандартному виду, сформулированное в предыдущем уроке: вначале нужно перемножить все числовые множители, то есть сформировать численный коэффициент одночлена, а затем перемножить соответствующие степени, то есть сформировать буквенную часть.

Теперь приведём к стандартному виду заданные одночлены:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Красным цветом у полученных одночленов стандартного вида выделен коэффициент, а зелёным – буквенная часть.

Очевидно, что одночлены б и г имеют одинаковую буквенную часть, а именно . В дальнейшем одночлены с одинаковой буквенной частью будем называть подобными.

Решение уравнений с одночленами

Задача 2: привести левую часть выражения к одночлену стандартного вида и решить полученное уравнение:

а) ;

приведём одночлен в левой части к стандартному виду, пользуясь правилом приведения:.

Перепишем исходное уравнение с учётом приведения одночлена к стандартному виду: .

Разделим обе части уравнения на : , а значит .

Решим ещё одно уравнение:

б) ;

приводим левую часть к стандартному виду и переписываем уравнение с учётом приведения:

, а значит .

То есть, можем сформулировать следующую стандартную задачу на одночлены – в уравнении, содержащем одночлен в одной из частей, привести этот одночлен к стандартному виду, а затем решить уравнение.

Решение вычислительной задачи на нахождение конкретного значения одночлена

Задача 3: вычислить значение одночлена , при ; .

Как и для любого алгебраического выражения, подставим и в одночлен и найдём его значение:

.

Решение геометрической задачи методом математического моделирования

Теперь рассмотрим геометрическую задачу.

Задача 4: в прямоугольном параллелепипеде длина в два раза больше ширины, высота в четыре раза больше ширины. Найдите его измерения, если объём равен .

Решим задачу методом математического моделирования

Первый этап – составление математической модели. Для этого нужно ввести удобные буквенные переменные. Обозначим ширину за см. Тогда можем выразить через и другие измерения. В условии сказано, что длина в два раза больше ширины, то есть длина будет см, а высота в четыре раза больше ширины, то есть высота будет см. Теперь весь параллелепипед охарактеризован через одну переменную. По условию задан объём параллелепипеда, который выражается произведением длины, ширины и высоты. Запишем, чему равен в данном случае объём параллелепипеда: . Математическая модель составлена.

Второй этап – работа с математической моделью, которая в данном случае заключается в нахождении Мы имеем уравнение с одночленом в левой части и числом в правой. Необходимо привести одночлен к стандартному виду: .

Запишем уравнение с учётом приведения к стандартному виду:. Поделим обе части уравнения на : , , а значит.

Третий этап – ответ на вопрос задачи. Ширина параллелепипеда была принята за то есть она равна пяти; длина, выраженная как , соответственно равна десяти, высота, выраженная как , равна двадцати. Ответ: измерения параллелепипеда равны см соответственно.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Проверь себя

Задание 1: привести одночлен к стандартному виду, указать одночлены с одинаковой буквенной частью:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задание 2: найти численное значение одночленов при заданных параметрах:

; ; ; .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задание 3: привести одночлены к стандартному виду и решить уравнения:

а) ;

б) ;

в) .

Задание 4: решить задачу методом математического моделирования:

Площадь прямоугольного поля составляем . Учитывая, что длина поля в три раза больше ширины, рассчитать его размеры.