06. Прямая пропорциональность и её график (В. А. Тарасов)

На данном уроке мы рассмотрим частный случай линейной функции – прямую пропорциональность. Мы рассмотрим её свойства и основные типовые задачи, связанные с данной функцией.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции».

Напоминание теории из предыдущих уроков, формулировка понятия прямой пропорциональности

Напомним, что мы изучаем линейное уравнение относительно двух переменных – и уравнение вида .

Мы знаем, что графиком данного уравнения является прямая линия, каждая точка которой характеризуется двумя числами – координатами и – абсциссой и ординатой, и каждая точка удовлетворяет заданному уравнению.

В одном из уроков мы выражали у через :

Пользуясь тем, что можем на него разделить обе части уравнения:

Для удобства приняли следующие обозначения: , получаем:

Таким образом, была получена линейная функция от в общем виде. Мы ввели некоторые новые обозначения: называем независимой переменной, или аргументом, называем зависимой переменной, или функцией. и – параметры, которые полностью и однозначно определяют конкретную линейную функцию.

Рассмотрим частный случай линейной функции, когда , в таком случае . Данная функция называется прямой пропорциональностью. Она определяется единственным параметром Нам следует изучить влияние данного параметра на график функции прямой пропорциональности и на саму функцию.

Решение опорного примера, введение некоторых понятий

Рассмотрим примеры:

Пример 1:

Пусть известно, что турист двигается со скоростью км/ч от некоторого пункта А к другому пункту В. В таком случае пройденный им путь будет подчиняться закону:

Если известно, что пассажир едет на поезде от некоторого пункта А к другому пункту В, а поезд движется со скоростью км/ч, то в каждый момент времени можно определить удаление пассажира от начального пункта по формуле:

В общем виде обе эти формулы можно представить как . Не важно, что подразумевают под собой переменные и важно только, что одна из них независимая, например время, а вторая зависимая, например расстояние.

Вернёмся к нашим примерам. В общем виде формулы и можно представить как

Отсюда – это одна из физических интерпретаций углового коэффициента.

Если перейти к формуле прямой пропорциональности, то

Решение примеров

Рассмотрим примеры:

Пример 2:

и – обе функции это прямая пропорциональность. Построим графики этих функций, для этого составим таблицы:

Таблица для функции ;

Таблица для функции ;

Угловой коэффициент является аналогом скорости в равномерном прямолинейном движении.

Одна из основных задач – это уметь находить угловой коэффициент в различных выражениях.

Пример – найти угловой коэффициент:

Отсюда очевидно, что

Отсюда очевидно, что

Отметим также, что если , то угол между графиком функции и положительным направлением оси тупой и функция убывает, а если – угол острый и функция возрастает, это видно из графика в примере 2. Физический аналог этому такой: если турист ушел из дома и его скорость равна км/ч, то в каждый момент времени расстояние от него до дома увеличивается, а если сказать, что расстояние выражается как , это значит, что он возвращается домой и расстояние сокращается.

Формулировка свойств данной функции

Сформулируем свойства прямой пропорциональности:

• график любой такой прямой проходит через начало координат, так как в уравнении при  независимо от значения   будет равен нулю;

• рассмотрим несколько функций:

– прямая пропорциональность;

– линейная функция;

– линейная функция;

Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры и определяются из стандартного вида линейного уравнения

Составим таблицы для построения графиков:

Таблица для первой функции

Таблица для второй функции

Таблица для третьей функции

Как мы видим, построенные прямые параллельны, причиной тому является равенство их угловых коэффициентов. Есть теорема, которая гласит:

Если – график прямой пропорциональности, то график будет ему параллелен, так как коэффициент определяет угол наклона к оси  и этот коэффициент у функций равный.

Пример 3 – построить графики функций:

Сразу отметим, что прямые не будут параллельны, так как их угловые коэффициенты не равны.

Для построения каждого графика нам достаточно выбрать одну точку, так как вторая уже известна – это точка ().

Итак, для первого графика возьмём точку ()

Для второго графика возьмём точку ()

Для третьего графика ()

Для четвёртого ()

По графику очень хорошо видно, что прямая пошла круче, чем прямая , угол прямой менее острый, при одинаковых значениях аргумента значение функции больше чем , но в обоих случаях угол острый и функция возрастает.

Обе прямые и имеют тупой угол наклона, обе функции убывают, но у прямой менее тупой и эта функция убывает быстрее.

Решение типовых задач

Пример 4 – определить соотношение между угловыми коэффициентами:

отсюда

Итак, роль углового коэффициента – это скорость роста функции.

Рассмотрим некоторые типовые задачи.

Пример 5:

Построить график прямой пропорциональности, если известно, что ему принадлежит точка с координатами ()

Для построения прямой нам нужно две точки, первая из них (), так как все графики прямой пропорциональности проходят через точку (), а вторая точка задана – это точка ().

Можно поступить иначе. Из заданной точки () мы понимаем, что и удовлетворяет нашему уравнению вида , подставим эти значения и найдём :

, отсюда . Итак, нам задано уравнение , которое мы легко можем построить.

Пример 6:

Построить график прямой пропорциональности и по нему ответить на множество вопросов.

Начнём с построения графика. Первая точка нам известна – для любого графика прямой пропорциональности это точка (). Для второй точки возьмём , тогда :

По графику требуется определить значение функции при следующих значениях аргумента:;

Кроме того, по заданному значению функции определить значение аргумента:

Определить по графику решение неравенств:

и

при

при

Пример 7 – найти наибольшее и наименьшее значение функции, если они существуют:

1. Задана функция , причём

Построим график функции :

Для первого случая меняется в пределах , значит, у меняется в пределах , значит на этом интервале минимум функции равен нулю, а максимум трём.

Для второго случая х меняется в пределах , значит, функция меняется в пределах , значит, минимальное значение функции на этом интервале есть и оно равно трём, а максимального значения функция не достигает.

Последний тип задач – по заданному графику определить угловой коэффициент.

Пример 8 – определить угловой коэффициент:

Задан график прямой пропорциональности.

Мы видим, что график проходит через точку , значит пара чисел удовлетворяет функции вида , значит, можем подставить значения в уравнение и найти :

Итак, нам задан график функции .

Выводы по уроку

B данном уроке мы рассмотрели частный случай линейной функции – прямую пропорциональность. Мы сформулировали свойства данной функции и основные типовые задачи, связанные с данной темой.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Uztest.ru.

2. Старая школа.

Проверь себя

1. Задание 1: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 299, ст.68;

2. Задание 2: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 300, ст.68;

3. Задание 3: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 305, ст.68;