06. Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов

На данном уроке мы вспомним все ранее изученные методы разложения многочлена на множители и рассмотрим примеры их применения, кроме того, изучим новый метод - метод выделения полного квадрата и научимся применять его при решении различных задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Напоминание ранее изученных методов разложения многочлена на множители

Напомним основные методы разложения многочлена на множители, которые были изучены ранее:

• Метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример:

;

Напомним, что одночлен есть произведение степеней и чисел. В нашем примере в обоих членах есть некоторые общие, одинаковые элементы.

Итак, вынесем общий множитель за скобки:

.

Напомним, что перемножив вынесенный множитель на скобку можно проверить правильность вынесения.

• Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример:

.

Сгруппируем первый член с четвёртым, второй с пятым, и третий соответственно с шестым:

.

Вынесем общие множители в группах:

.

У выражения появился общий множитель. Вынесем его:

.

• Применение формул сокращённого умножения. Рассмотрим пример:

Распишем выражение подробно:

.

Очевидно, что перед нами формула квадрата разности, так как есть сумма квадратов двух выражений и из неё вычитается их удвоенное произведение. Свернём по формуле:

.

Описание метода выделения полного квадрата

Сегодня мы выучим ещё один способ – метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:

 – формула квадрата суммы(разности).

Решение примера

Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример:

Распишем выражение:

.

Итак, первое выражение это , а второе .

Для того, чтобы составить формулу квадрата суммы или разности не хватает удвоенного произведения выражений. Его нужно прибавить и отнять:

Свернём полный квадрат суммы:

Преобразуем полученное выражение:

Применим формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение и суммы на их разность:

.

Итак, данный метод заключается, прежде всего, в том, что нужно выявить выражения и которые стоят в квадрате, то есть определить, квадраты каких выражений стоят в данном примере. После этого нужно проверить наличие удвоенного произведения и если его нет, то прибавить и отнять его, от этого смысл примера не изменится, но многочлен можно будет разложить на множители, используя формулы квадрата суммы или разности и разности квадратов, если есть такая возможность.

Перейдём к решению примеров.

Пример 1 – разложить на множители:

Найдём выражения, которые стоят в квадрате:

Запишем, каким должно быть их удвоенное произведение:

Прибавим и отнимем удвоенное произведение:

Свернём полный квадрат суммы и приведем подобные:

Распишем по формуле разности квадратов:

.

Решение уравнений

Пример 2 – решить уравнение:

В левой части уравнения стоит трёхчлен. Нужно разложить его на множители. Используем формулу квадрата разности :

У нас есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:

Свернём полный квадрат и приведём подобные члены:

Применим формулу разности квадратов:

Итак, имеем уравнение .

Мы знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим на этом основании уравнения: или .

Решим первое уравнение:

.

Решим второе уравнение:

.

Ответ: или .

Пример 3:

Поступаем аналогично предыдущему примеру – выделяем квадрат разности:

.

Применяем формулу разности квадратов:

.

Получили уравнение

Значит или , или .

Выводы по уроку

Мы рассмотрели новый метод разложения многочлена на множители – метод выделения полного квадрата, он базируется на знании и формул сокращённого умножения. Мы выполнили несколько различных примеров на закрепление техники применения данного метода.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Uztest.ru

Проверь себя

1. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 382, с. 135.

2. Выделите полный квадрат:
   а) ;
   б) ;
   в) ;
   г) .

3. Решите уравнения:
   а) ;
   б) ;
   в) .