08. Разложение многочленов на множители, сокращение дробей

На данном уроке мы вспомним все изученные методы разложения многочлена на множители, рассмотрим примеры к ним. Также вспомним алгебраические дроби и выполним несколько типовых задач, связанных с ними.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений». 

Определение алгебраической дроби, методы разложения многочленов на множители

Вспомним, что называется алгебраической дробью. Алгебраическая дробь – это деление одного многочлена на другой многочлен: , P – числитель дроби, Q – знаменатель дроби; данные многочлены можно преобразовывать, раскладывать на множители любыми известными нам методами. Дробь можно сокращать на общие множители, то есть упрощать исходную дробь.

Напомним, что многочлен есть алгебраическая сумма одночленов, а одночлен – это произведение чисел и степеней.

Вспомним способы разложения многочлена на множители.

1. В каждом члене многочлена может быть общий множитель, отсюда первый способ – метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример 1, вынесем общий множитель за скобки, для этого определим, какие переменные представлены во всех членах, и вынесем их в минимальной степени:

.

Напомним, что, перемножив вынесенный множитель на скобку, можно проверить правильность вынесения.

Пример 2:

В обоих членах есть скобка , в одном в первой, а в другом во второй степени, вынесем минимальную ее степень – первую:

2. Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример 3:

.

Сгруппируем первый член со вторым, третий с четвёртым и вынесем общие множители в группах:

У выражения появился общий множитель. Вынесем его:

3. Применение формул сокращённого умножения. Рассмотрим пример 4:

Мы расписали заданный многочлен по известной формуле разности кубов.

Пример 5:

Комментарий: мы увидели в заданном многочлене формулу суммы кубов и разложили его.

4. метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:

 – формула квадрата суммы (разности);

Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример 6:

Распишем выражение:

Итак, первое выражение – это а второе должно быть но не хватает квадрата этого выражения. Прибавим и вычтем его:

Свернём полный квадрат разности:

Преобразуем полученное выражение, применяя формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение суммы на их разность:

Напомним, что, перемножив скобки, можно проверить правильность разложения.

Итак, повторим, что все вышеуказанные способы разложения многочленов на множители применяются при сокращении дробей.

Сокращение дробей

Пример 7:

Распишем заданную дробь более подробно:

Таким образом, в числителе стоит разность кубов, а в знаменателе – неполный квадрат суммы. Распишем числитель:

Сократим дробь:

Решение уравнений

Пример 8: решить уравнение:

Упростим дробь в левой части, разложим её числитель как разность кубов:

Появился общий множитель, который можно сократить, но при этом обязательно нужно отметить, что . Так как, согласно свойству дроби, числитель и знаменатель можно поделить или умножить на одно и то же число, не равное нулю, поэтому, наложив ограничение на имеем право сократить дробь:

Уравнение приобрело вид:

Умножим обе части на 2:

Приведем подобные:

Применим метод выделения полного квадрата:

Применим формулу разности квадратов:

Мы помним, что произведение равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю. Таким образом, составим новые уравнения и найдём :

Мы получили два корня и , но не следует забывать, что мы наложили ограничения на чтобы сократить дробь, и x не может быть равен двум, таким образом, наше уравнение имеет единственный корень .

Подведение итогов урока

Вывод: мы вспомнили все изученные методы разложения многочленов на множители и рассмотрели примеры. Вспомнили определение и некоторые свойства алгебраических дробей, решили несколько типовых задач, с ними связанных.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Проверьте себя

1. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 436, с. 151.

2. Мордкович А. Г., Мишустина Т. Н., Тульчинская Б. Е., задачник, Алгебра 7, № 678, с. 79.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. Алгебра 7, № 939, с. 178.