03. Разложение многочленов на множители. Способ группировки

На данном уроке мы изучим второй метод разложения многочлена на множители – метод группировки, он базируется на ранее изученном методе вынесения общего множителя за скобки. Мы дадим общее рекомендации касательно решения задач и решим несколько примеров, простых и более сложных. Кроме того, решим вычислительные задачи.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Подготовка к изучению новой темы, формулировка рекомендаций к выполнению примеров

Вспомним, что многочлен – это сумма одночленов, а одночлен – это произведение степеней и чисел. Если у многочлена есть общий член, то мы выносили его за скобки, таким образом раскладывали многочлен на множители. Это был первый метод разложения многочлена на множители.

Но у многочлена может и не быть общего множителя, в таком случае мы будем искать его только у группы членов. Таким образом, мы разбиваем многочлен на группы и в каждой группе выносим общий множитель. Далее возможно, что у всех групп образуется общий множитель, и мы сможем его вынести.

Решение примеров

Пример 1:

.

Очевидно, что общего множителя у данного многочлена нет. Значит, нам нужно его разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе был общий множитель, и кроме того постараться разбить так, чтобы после вынесения общих множителей в группах образовался общий множитель для всех групп.

Сгруппируем первый со вторым и третий с четвёртым:

.

Обратим внимание на тот факт, что группы можно объединять по-разному, но лучше группировать те члены, где очевидно есть общий множитель.

Рассмотрим первый пример с другой стороны, сгруппируем первый член с третьим, а второй с четвёртым:

.

Видим, что при таком варианте группировки выражение получается такое же, как и в первом случае.

Пример 2:

;

сгруппируем первый с четвёртым и второй с третьим:

;

в данном примере также можно проверить, есть ли другие варианты группировки, например, сгруппировать первый член с третьим и второй с четвёртым.

При выборе групп следует обратить внимание на такой момент. После выбора первой группы нужно проверить, есть ли общий множитель во второй группе, и если его нет, то группировать нужно иначе.

Пример 3:

.

Сгруппируем крайние члены между собой, а средние между собой:

Решение вычислительных задач

Рассмотрим вычислительные задачи.

Пример 4 – разложить на множители и вычислить:

Сгруппируем первый член с последним, а средние между собой:

Подставим значения переменных:

Пример 5:

В данном случае выполнять вычисления напрямую будет достаточно долго и сложно, поэтому попробуем разложить выражение на множители способом группировки. Объединим первый член с третьим, а второй с четвёртым:

Выводы по уроку

На данном уроке мы рассмотрели второй метод разложения многочлена на множители – метод группировки. Мы решили много примеров, простых и более сложных, и вычислительные задачи, чтобы наработать технику выполнения данной операции.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Проверь себя

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7, № 848 (а-г), с. 216.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7, № 849, с. 216.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 346, с. 127.