05. Разложение многочленов на множители в комбинации с формулами сокращённого умножения

На данном уроке мы научимся раскладывать многочлен на множители с применением всех ранее изученных методов. Мы научимся решать задачи с различными комбинациями формул сокращённого умножения и методов разложения.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Вводная информация

На предыдущих уроках мы изучили два способа разложения многочлена на множители – способ вынесения общего множителя и способ группировки. Кроме того, мы изучили формулы сокращённого умножения и говорили, что их также можно использовать для разложения многочлена на множители.

Теперь для начала рассмотрим простейшие способы комбинирования вышеуказанных методов разложения.

Пример 1:

Теперь усложним выражение, умножив заданный многочлен на три:

.

Данная формула очень похожа на полный квадрат, но в таком виде свернуть её мы не можем, но мы видим, что у всех членов есть общий множитель и можем вынести его за скобку. Получаем:

Итак, первая комбинация это формулы сокращённого умножения плюс вынесение общего множителя за скобки.

Примеры на комбинацию вынесения общего множителя и формулы квадрата разности

Пример 2:

;

Определим, что можно вынести за скобки. Для этого для начала найдём НОД:

.

Вынесем найденный общий множитель:

.

Определим, какие буквенные множители можно вынести. Обе переменные и есть во всех членах многочлена, значит, их можно выносить. Осталось определить только, в какой степени. Для этого найдём минимальную степень каждой из переменных. Это и . Вынесем найденную буквенную часть:

.

Распишем полученную скобку более подробно, для этого определим, квадратами каких выражений являются первое и третье выражение, а затем проверим удвоенное произведение:

.

Очевидно, что в скобке стоит полный квадрат разности, так как мы помним его формулу: . Свернём его:

.

Комбинирование способа группировки и формулы разности квадратов

Пример 3:

Сгруппируем первый, третий и четвёртый член, получим:

.

В скобках мы видим квадрат суммы. Свернём его:

.

Теперь мы видим разность квадратов. Вспомним формулу:. На основании этой формулы распишем наше выражение:

.

Итак, мы рассмотрели комбинацию способа группировки и формул сокращённого умножения.

Пример 4:

Поступаем аналогично предыдущему примеру: сначала группируем члены по схеме «», после этого применяем формулы сокращённого умножения:

.

Комбинация вынесения множителя и формулы суммы кубов

Пример 5:

Очевидно, что нужно вынести  за скобки:

В скобках мы получили формулу суммы кубов. Распишем её:

В данном примере мы применили комбинацию вынесения общего множителя за скобки и формулы куба суммы.

Решение объемных примеров на комбинацию многих способов

Пример 6:

Распишем разность квадратов:

Пример 7:

.

Вынесем общий множитель за скобки:

Во второй скобке мы видим квадрат разности, можем свернуть его:

Выводы по уроку

В данном уроке мы рассмотрели простейшие комбинации способов разложения многочлена на множители и формул сокращённого умножения и решили много различных примеров на разные варианты этих комбинаций.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Математика для чайников.

2. Uztest.ru.

Проверь себя

1. Задание 1: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7, № 890, с. 224.

2. Задание 2: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7, № 897, с. 225.

3. Задание 3: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7, № 899, с. 225.