02. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки

На этом уроке мы познакомимся с правилами вынесения за скобки общего множителя, научимся находить его в различных примерах и выражениях. Поговорим о том, как простая операция, вынесение общего множителя за скобки, позволяет упростить вычисления. Полученные знания и навыки закрепим, рассмотрев примеры разных сложностей.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Введение

Что такое общий множитель, зачем его искать и с какой целью выносить за скобки? Ответим на эти вопросы, разобрав простейший пример.

Решим уравнение . Левая часть уравнения является многочленом, состоящим из подобных членов. Буквенная часть  является общей для данных членов, значит, она и будет общим множителем. Вынесем  за скобки:

В данном случае вынесение за скобки общего множителя помогло нам преобразовать многочлен в одночлен. Таким образом, мы смогли упростить многочлен и его преобразование помогло нам решить уравнение.

В рассмотренном примере общий множитель был очевиден, но будет ли так просто найти его в произвольном многочлене?

Найдём значение выражения: .

В данном примере вынесение общего множителя за скобки значительно упростило вычисление.

Решим ещё один пример. Докажем делимость на  выражения .

Полученное выражение делится на что и требовалось доказать. И снова вынесение общего множителя позволило нам решить задачу.

Решим ещё один пример. Докажем, что выражение  делится на  при любом натуральном .

 – выражение является произведением двух соседних чисел натурального ряда. Одно из двух чисел обязательно будет чётным, значит, выражение будет делиться на

Вынесение за скобки общего множителя, являющегося целым числом

Мы разобрали разные примеры, но применяли один и тот же метод решения: выносили общий множитель за скобки. Мы видим, что эта простая операция значительно упрощает вычисления. Было легко найти общий множитель для этих частных случаев, а что делать в общем случае, для произвольного многочлена?

Вспомним, что многочлен – сумма одночленов.

Рассмотрим многочлен. Данный многочлен является суммой двух одночленов. Одночлен – произведение числа, коэффициента, и буквенной части. Таким образом, в нашем многочлене каждый одночлен представлен произведением числа и степеней, произведение множителей. Множители могут быть одинаковыми для всех одночленов. Именно эти множители нужно определить и вынести за скобку. Сначала находим общий множитель для коэффициентов, причем целочисленных.

Было легко найти общий множитель, но давайте определим НОД коэффициентов: .

Рассмотрим ещё один пример: .

Найдём , что позволит нам определить общий множитель для данного выражения: .

Мы вывели правило для целых коэффициентов. Нужно найти их НОД и вынести за скобку. Закрепим это правило, решив ещё один пример.

Вынесение за скобки общего множителя, являющегося буквенной переменной

Мы рассмотрели правило вынесения общего множителя для целочисленных коэффициентов, перейдём к буквенной части. Сначала ищем те буквы, которые входят во все одночлены, а потом определяем наибольшую степень буквы, которая входит во все одночлены:.

В этом примере была всего одна общая буквенная переменная, но их может быть несколько, как в следующем примере:

Усложним пример, увеличив количество одночленов:

После вынесения общего множителя мы преобразовали алгебраическую сумму в произведение.

Решение сложных примеров

Мы рассмотрели правила вынесения для целых коэффициентов и буквенных переменных отдельно, но чаще всего для решения примера нужно применять их вместе. Рассмотрим пример:

Иногда бывает сложно определить, какое выражение остается в скобках, рассмотрим лёгкий приём, который позволит вам быстро решить эту проблему.

Общим множителем также может быть искомое значение :

или

Общим множителем может быть не только число или одночлен, но и любое выражение, как, например, в следующем уравнении:

Обозначим выражение за  и вынесем его как общий множитель:

Вернёмся к исходной переменной: . Получаем: .

Заключение

Мы научились находить общий множитель и выносить его за скобки. Сформулировали соответствующие правила и закрепили их примерами.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «mathematics-repetition.com».

Проверь себя

1. Вынесите общий множитель за скобки:
   a);
   б);
   в);
   г) .

2. Решите уравнение: .    

3. Упростите выражения: 
   a);
   б).