07. Решение задач по теме «Одночлены. Арифметические операции над одночленами»

На этом уроке мы рассмотрим, как выполнять арифметические операции над одночленами, решим различные задания на эту тему.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Введение

На этом уроке мы будем решать задачи, связанные с одночленами. Мы умеем выполнять следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. На эти действия мы и будем решать задачи.

Пример 1. Сложение одночленов

Выполнить сложение одночленов: .

Решение. Прежде всего вспомним, что складывать и вычитать, приводя подобные, можно только одночлены с одинаковой буквенной частью. Принцип здесь очень прост. Если у вас было  яблока и  яблок, то вместе у вас  яблок. А если было  яблока и  груш, то вы не можете говорить ни про  яблок, ни про  груш. Наконец, если было  яблока и  груши, а потом вам дали ещё  яблока и  груш, то стало  яблок и  груш, то есть мы складываем яблоки с яблоками, груши – с грушами. Точно так же и с одночленами: складывать (или вычитать) коэффициенты мы можем только у тех одночленов, у которых буквенная часть полностью совпадает (в том числе и степени переменных).

Чтобы увидеть подобные слагаемые, запишем каждый одночлен в стандартном виде (упорядочив переменные по алфавиту для удобства). Будет:

.

Найдём и приведём подобные слагаемые:

.

Можно заметить, что, по сути, мы применили распределительный закон два раза, вынеся за скобки и соответственно:

.

То есть получаем, что .

Пример 2. Умножение одночленов

Умножить одночлены: .

Решение. Напомним, что при умножении одночлена на одночлен нужно перемножить коэффициенты отдельно, а буквенные части отдельно – к каждой букве применяем свойство степеней, складывая показатели.

Получаем:  .

Пример 3. Возведение одночленов в степень

Умножить одночлены: .

Решение. Чтобы возвести одночлен в степень, нужно его коэффициент возвести в эту степень, а также каждую переменную возвести в степень. При возведении степени в степень, показатели степеней перемножаются.

Сначала возведём выражение в скобках в куб, а затем применим уже повторенное свойство умножения одночлена на одночлен. Получаем: 

.

Пример 4. Деление одночленов

Разделить одночлены: .

Решение. В этом случае мы делим коэффициент делимого на коэффициент делителя, а затем последовательно делим степень каждой переменной (буквы). При делении показатели степени вычитаются.

Сначала возведём одночлены в степень, а потом выполним деление. Получаем:

.

Пример 5. На все арифметические операции

Упростить выражение: .

Решение 

1. Первым действием приведём подобные в первых скобках и возведём полученный результат в куб: 

2. Возведём в четвёртую степень второй множитель: 
   

3. Перемножим результаты первого и второго действия: 
   

4. Поделим одночлены: 
   

5. Отнимем одночлены, которые получились в третьем и четвёртом действиях:
   

Получаем, что: .

Заключение

На этом уроке мы вспомнили все основные действия с одночленами (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень), и повторили, как их выполнять, на различных примерах.

Рекомендованная литература

1. М. И. Башмаков. Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 224 с.

2. Гельфман Э. Г., Демидова Л. Н., Терре А. И. Алгебра. Практикум для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 184 с.

3. Э. Г. Гельфман и др., Алгебра. Учебник для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 264 с.

Проверьте себя

1. Упростить выражение .

2. Решить уравнение .

3. Замените символ таким одночленом, чтобы выполнялось равенство: .