04. Система двух линейных уравнений с двумя переменными. Математические модели реальных ситуаций

На этом уроке мы разберём, как решать задачи с помощью систем линейных уравнений, научимся переводить условия задач на математический язык и строить математические модели.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства».

Введение

Решим такую задачу (см. рис. 1).

В задаче речь идёт о трёх объектах: о кролике, птице и кабане, и неизвестными величинами являются массы этих зверей.

Сумма трёх кроликов – это три кролика. Можно продолжать с картинками, но это неудобно.

Заменим массу животных на переменные (см. рис. 2):

Перепишем всё что показано на картинке, с помощью переменных:

Решим полученную систему:

Тогда получаем, что масса трёх животных:

Нам нигде не пришлось думать, решать задачу. Главное, что нужно было сделать – аккуратно переписать условие задачи с помощью введённых обозначений. Таким образом, мы построили математическую модель – записали условие задачи на математическом языке и решили её абсолютно автоматически.

Алгоритм решения задач

Все задачи, которые будут встречаться в дальнейшем, решаются по одному алгоритму. Итак, рассмотрим этот алгоритм. В нём выделим 4 пункта.

1. Что происходит?

Читаем внимательно задачу и представляем, что происходит. Перечисляем всех участников и их характеристики (величины), которые можно измерить.

2. Моделирование

Вводим обозначения для всех этих величин. Переписываем всё, что сказано в условии задачи, с помощью этих обозначений. Получаем набор алгебраических условий, уравнений, который мы называем моделью.

3. Решение

Решаем полученные уравнения. Получаем ответ в рамках модели.

4. Ответ

Возвращаемся от модели к задаче. Даём ответ на вопрос задачи.

Задачи

Пример 1

Два туриста вышли одновременно из двух городов, расстояние между которыми –км, и встретились через ч. С какой скоростью шёл каждый турист, если первый прошёл на км больше, чем второй?

Решение

1 этап. Что происходит?

Два туриста идут навстречу друг другу и встречаются. Каждый прошёл какое-то расстояние, у каждого есть скорость движения, каждый потратил какое-то время. Ещё есть общее расстояние между городами (см. рис. 3).

2 этап. Модель

Итак, для каждого участника есть три величины и ещё общее расстояние:

,,,,,, 

Итак, 7 величин, 7 обозначений (см. рис. 4). Пока нас не интересовало, какие из них уже известны, а какие нет.

А как же быть с  и ? Будем ли мы вводить эти обозначения? Для задач на движение есть уже свои всем понятные обозначения: – расстояние,– скорость,– время. И заменять их на  и  нет никакого смысла. А вообще это совершенно неважно. Делайте такие обозначения, чтобы вам было удобно и понятно.

Теперь нам нужно переписать условие задачи, используя введённые обозначения.

– вышли одновременно и встретились через ч.

– расстояние между городами км.

– вышли из двух городов и встретились.

– первый прошёл на км больше, чем второй.

Найти нужно скорости каждого туриста.

,– ?

Кроме того, что сказано в задаче, мы владеем ещё кое-какой важной информацией. А именно, как связаны все эти величины друг с другом. Запишем эти соотношения для каждого туриста:

Итак, мы получили математическую модель – ввели обозначения и с помощью них переписали условие задачи. То есть мы уже выполнили  всей работы.

3 этап. Решение

Наша модель содержит уже всю информацию. Никакой новой информации не будет, и никакая не пропадёт. Мы просто займёмся переписыванием её в эквивалентном, но более удобном виде.

Итак, надо найти ,.

Для начала уменьшим количество записей в модели. Для этого подставим все известные величины.

Нам известны , и . Получаем:

Нижние два уравнения содержат величины, которые мы ищем. Но здесь  неизвестных, и если эти два уравнения взять в качестве системы, то у неё будет бесконечно много решений.

Верхние два уравнения содержат только две неизвестные. Правда, там нет нам нужных, но если решить систему этих двух уравнений, мы найдём ,, а затем уже и , из нижних двух.

То есть в качестве системы берем два верхних уравнения.

Решим систему методом сложения. Сложим почленно оба уравнения – получим первое уравнение новой системы, вычтем из первого второе – получим второе уравнение новой системы:

Нашли ,. Теперь подставим их в два оставшихся уравнения.

Итак, смоделированную задачу мы решили, остался последний этап.

4 этап. Ответ

Возвращаемся к исходной задаче. Заменяем наши обозначения на названия величин.

Ответ: скорость первого пешехода –, скорость второго пешехода –.

Пример 2

На двух полках  книг. Если переставить со второй полки половину книг на первую, то на первой станет в  раза больше, чем останется на второй. Сколько книг на каждой полке?

Решение

1 этап. Что происходит?

На двух полках стоят книги (см. рис. 5).

С одной полки переносят часть книг на другую (см. рис. 6).

2 этап. Модель

Первый момент, до перестановки. Обозначим через  и  количество книг на первой и второй полках (см. рис. 7).

Второй момент, после перестановки. Теперь на полках другое количество книг. Обозначим новые количества через  и (см. рис. 8).

Запишем все условия в этих обозначениях.

– на двух полках  книг.

– со второй полки переставили половину книг на первую.

– со второй полки переставили половину книг на первую.

– на первой полке в  раза больше книг, чем на второй.

Можно ещё написать, что после перестановки общее количество книг не изменилось:

Необходимо найти: ,– ?

Мы построили модель. Пока мы будем решать эту уже математическую задачу, не станем вспоминать про книги и полки.

3 этап. Решение

Итак, мы хотим получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Лучше, чтобы это были  и , так как именно их нам нужно найти.

Первое уравнение нам для этого подходит. А все остальные содержат ещё или  или . Но можно заметить, что если в уравнение  подставить выражения для  и , то мы получим второе уравнение для  и .

Составим и решим систему:

Из верхнего уравнения вычтем нижнее:

Мы получили ответ для модели, теперь возвращаемся к задаче.

4 этап. Ответ

На первой полке было  книги, на второй –.
В самом деле, если половину книг со второй полки переставить на первую, то на второй останется , а на первой станет , то есть в  раза больше.

На самом деле, совершенно не обязательно при составлении модели должно получаться два уравнения с двумя неизвестными. Их может быть и , и .

Пример 3.

За  часа по течению и  часа против течения теплоход проходит км. За ч по течению и мин против течения теплоход проходит км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.

Решение

1 этап. Что происходит?

Итак, у нас два независимых события: теплоход первый раз плывёт по течению и против него одно и то же расстояние, и второй раз, тоже по течению и против него, но уже другое расстояние.

2 этап. Модель

Введём обозначения.

У нас 4 промежутка времени ,,,.

Два расстояния, две скорости – реки и теплохода ,,,.

Перепишем все условия в наших обозначениях. Нам известны все 4 промежутка времени. Запишем их.

Теперь первый заплыв:

Он проплыл 380 км, причём эти 380 км состоят из двух частей. Первая часть та, что он проплыл по течению, очевидно, со скоростью . Мы можем записывать время, которое он плыл по течению, как , но так как мы знаем его, то можно писать уже само значение, часа. И второе слагаемое – расстояние, пройденное против течения.

Теперь то же самое мы можем записать для второго заплыва.

Необходимо найти: ,– ?

Модель составлена.

3 этап. Решение

Итак, два длинных уравнения в нашей модели дают нам систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решим её. Раскроем скобки:

Приведём подобные:

Умножим обе части нижнего уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

Сложим почленно уравнения, пропадёт переменная :

Найдём :

Подставим во второе уравнение.

Система решена.

4 этап. Ответ

Мы получили ответ для модели, возвращаемся к задаче.

Скорость теплохода –.

Скорость течения реки –.

Заключение

Итак, как устроен наш единый алгоритм для решения задач.

1. Что происходит?
Внимательно читаем задачу и представляем, что происходит. Обязательно нужно представить все до конца и всех участников событий.

2. Моделирование
Вводим обозначения для всех величин, которые есть в задаче. Аккуратно переписываем условия задачи с введёнными обозначениями. Это главный навык, который мы должны натренировать.

3. Решение
Решаем уравнения в нашей модели.

4. Ответ
Возвращаемся к задаче, формулируем ответ.

Ещё одна рекомендация. Она относится не только к решению такого рода задач, а вообще к занятию математикой.

Даже если вы не пишете контрольную работу, а просто решаете задачу для себя, обязательно оформляйте всё аккуратно, пишите разборчиво. Очень часто не удаётся решить задачу из-за того, что оформление было сделано небрежно и вам самим не понятно, что у вас написано. Аккуратность в оформлении математической записи нужна не вашему учителю, а вам самим.

Список литературы

1. М. И. Башмаков. Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 224 с.

2. Гельфман Э. Г., Демидова Л. Н., Терре А. И. Алгебра. Практикум для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 184 с.

3. Э. Г. Гельфман и др. Алгебра. Учебник для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 264 с.

Проверь себя

1. В отделе работают программисты и дизайнеры. Вчера на работу не пришли  программиста и  дизайнер. При этом оказалось, что программистов на  человека меньше, чем дизайнеров. Сегодня не пришёл  программист и  дизайнеров. При этом оказалось, что программистов в  раза больше, чем дизайнеров. Сколько всего сотрудников числится в отделе?

2. В выходной день Саша пошёл в Парк культуры покататься на аттракционах и полакомиться мороженым. В кармане у него было  рублей. Сначала Саша хотел поучаствовать в трёх аттракционах и съесть три порции мороженого. В этом случае у него бы ещё осталось  рублей на попкорн. Но Саша так увлекся, что вместо трёх принял участие в четырёх аттракционах, и денег хватило как раз только на одно мороженое. Сколько стоит одна порция мороженого и билет на один аттракцион в парке?

3. Первый автомобиль преодолевает путь между двумя городами за ч, а второй – за ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если за  часа первый из них проезжает на км больше, чем второй.