03. Сложение и вычитание одночленов

Напоминание определений и правила приведения к стандартному виду уроков

Вспомним, что называется одночленом, и какие операции можно делать с одночленами. Одночлен – это произведение чисел и степеней. Рассмотрим два примера:

; 

.

Оба выражения являются одночленами и перед тем, как приступить к сложению или вычитанию, необходимо привести их к стандартному виду:

;

.

Напомним, что для приведения одночлена к стандартному виду необходимо вначале получить численный коэффициент, перемножив все численные множители, а после этого перемножить соответствующие степени.

Выясним, можно ли складывать наши два одночлена – нет, нельзя, потому что можно складывать лишь те одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть, то есть только подобные одночлены. То есть, мы должны научиться различать подобные и не подобные одночлены.

Определение подобия одночленов, примеры

Рассмотрим примеры подобных одночленов:

Одночлены  и  являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть -.

Ещё один пример. Запишем одночлен  и одночлен . Мы можем приписать второму одночлену абсолютно любой численный коэффициент и получим одночлен, подобный первому. Выберем, например, коэффициент  и получим два подобных одночлена:  и .

Рассмотрим следующий пример. Первый одночлен , его коэффициент равен единице. Запишем теперь его буквенную часть  и добавим к ней произвольный численный коэффициент, например,. Имеем два подобных одночлена:  и .

Сделаем вывод: подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть, и такие одночлены можно складывать и вычитать.

Сложение подобных одночленов, примеры и правило

Теперь приведём примеры не подобных одночленов:  и ; данные одночлены имеют разную буквенную часть, переменная в них представлена в разных степенях, поэтому одночлены не являются подобными.

Ещё один пример: одночлены  и  также не являются подобными, их буквенные части отличаются степенями переменной .

Рассмотрим третью пару одночленов:  и  также не являются подобными.

Теперь разберём сложение подобных одночленов, для этого выполним пример:

Сложить два одночлена: .

Очевидно, что данные одночлены подобны, так как легко заметить, что буквенные части их одинаковы, однако математически подобие одночленов можно доказать заменив буквенную часть другой буквой, и если для обоих одночленов эта буква окажется одинаковой, то одночлены подобны. Переходя к примеру, заменим в первом одночлене  на ? Тогда и во втором одночлене ту же самую буквенную часть заменим на .

Получим:

Сложив два эти выражения, получим . Теперь вернёмся к исходным переменным – заменим в ответе переменную на , получаем окончательный ответ:

Теперь сформулируем правило сложения одночленов:

Для того чтобы получить сумму подобных одночленов необходимо сложить их коэффициенты, а буквенную часть дописать такую же, как у исходных слагаемых.

Рассмотрим примеры:

1)

2)

Комментарий к примеру № 1: сначала мы записываем в результат сумму коэффициентов одночленов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений, то есть .

Комментарий к примеру № 2: аналогично первому примеру сначала записываем сумму коэффициентов, то есть , затем переписываем буквенную часть без изменений -.

Формулировка правила вычитания подобных одночленов, примеры

Перейдём к правилу вычитания одночленов. Рассмотри примеры:

1) 

Правило вычитания подобных одночленов аналогично правилу сложения: буквенную часть переписываем без изменений, а коэффициенты вычесть, причём вычесть в правильном порядке. Для нашего примера:

2) 

3) 

Выводы относительно сложения и вычитания подобных одночленов

Сделаем вывод: складывать и вычитать можно любые, но только подобные одночлены, для этого нужно складывать или вычитать их коэффициенты, буквенную часть переписывая в исходном виде. Не подобные одночлены ни складывать, ни вычитать нельзя.

Решение задачи на упрощение выражения – прямая задача

Теперь, зная алгоритм сложения и вычитания подобных одночленов, мы можем решать некоторые типовые задачи.

Задачи на упрощение

Упростить выражение: .

Первый одночлен записан в стандартном виде, его больше упростить нельзя, второй и третий не в стандартном виде, значит, первым действием при упрощении выражений с одночленами выполняем приведение к стандартному виду одночленов, которые можно к нему привести.

Итак, приведём к стандартному виду вначале второй, а потом и третий одночлены:

Перепишем исходное выражение с учётом выполненных преобразований:

Мы видим одинаковую буквенную часть у всех трёх одночленов, а, значит, они подобны, то есть мы имеем право складывать их и вычитать. Согласно правилу, мы выполним необходимые действия с коэффициентами, а буквенную часть перепишем без изменений:

Решение обратной задачи – разложение одночлена на слагаемые

Существует обратная задача. Задан одночлен . Представить одночлен в виде суммы одночленов.

У всех одночленов, в виде суммы которых мы представим заданный, будет одинаковая буквенная часть, одинаковая также и с заданным одночленом -. Представим наш одночлен, например, в виде суммы двух слагаемых. Для этого представим коэффициент как сумму:

А теперь запишем полученное представление: сначала пишем первое слагаемое, умноженное на буквенную часть, а затем второе также умноженное на буквенную часть:

Данная задача имеет бесконечное количество решений, так как число можно представить по-разному, например:

Тогда:

Решение задачи на определение подобных одночленов и их сложение

Рассмотрим ещё один вид типовых задач: среди данных одночленов найти подобные и сложить их:

;;;.

Очевидно, что одинаковую буквенную часть имеют первый, второй и последний одночлены. Теперь выполним сложение:

.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Проверь себя

Задание 1: упростить выражения.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задание 2: разложить одночлен на сумму или разность четырьмя различными способами:

Задание 3: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7,  № 263, стр. 58. Для каждой пары подобных одночленов выполнить сложение и вычитание, а для не подобных указать, какие действия необходимо выполнить, чтобы они стали подобными.