13. Совместное применение формул сокращённого умножения

На данном уроке мы вспомним все ранее изученные формулы сокращённого умножения и приобретём навык решения усложненных задач, а именно задач на совместное применение нескольких формул или же на неоднократное применение одной и той же формулы. Мы рассмотрим самые разнообразные примеры и основательно закрепим технику решения подобных заданий.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Формулировка темы урока и повторение материала предыдущих уроков

В предыдущих уроках мы рассмотрели каждую формулу в отдельности и разбирали примеры их применения, теперь мы научимся решать задачи, применяя несколько формул одновременно или применяя одну формулу несколько раз.

Вспомним все формулы сокращённого умножения:

• – квадрат суммы (разности);

• – разность квадратов;

• – разность кубов;

• – сумма кубов;

• называют неполным квадратом суммы;

•  называют неполным квадратом разности.

Отличие последних двух выражений от полного квадрата состоит в том, что в полном квадрате есть удвоенное произведение выражений, а в неполном – просто их произведение.

Решение задач на упрощение выражений

Перейдём к примерам:

Пример 1: упростить:

Комментарий: для решения данного примера нужно воспользоваться двумя формулами сокращённого умножения – формулой квадрата суммы и разности квадратов. После выполнения преобразований нужно привести в полученном выражении подобные члены.

Пример 2: привести многочлен к стандартному виду:

;

Данный пример можно решить несколькими способами.

Способ 1

Поскольку показатели степени выражений одинаковы, можно преобразовать так:

Под знаком квадрата мы видим произведение суммы выражений на их разность, а это, как нам известно, формула разности квадратов. Преобразуем:

Теперь, очевидно, перед нами формула квадрата разности.

Преобразуем:

Способ 2: воспользуемся формулами квадрата разности и квадрата суммы для преобразования первой и второй скобки:

Теперь выполним умножение полученных трёхчленов, напомним правило: нужно каждый член первого трёхчлена умножить на каждый член второго трёхчлена:

Ответ в обоих случаях получился одинаковый, а значит, возможно применение как первого, так и второго способа, но первый способ быстрее и удобнее.

Пример 3: упростить выражение:

Пример, аналогичный предыдущему. Воспользуемся первым способом:

Комментарий: аналогично предыдущему примеру воспользуемся свойством степени, в скобках получим формулу разности квадратов, распишем её, получим формулу квадрата разности и, расписав её, получим ответ.

Пример 4: упростить выражение:

Комментарий: при решении данного примера нужно дважды применить формулу разности квадратов: сначала свернуть первые две скобки, потом увидеть, что полученное выражение с третьей скобкой тоже представляют собой формулу разности квадратов, упростить полученное выражение и получить ответ.

Задача на доказательство тождества

Пример 5: докажите тождество для любых значений , и :

;

.

Итак, мы получили . Тождество доказано.

Комментарий: для решения данного примера нужно воспользоваться формулой разности квадратов для всех трёх пар скобок и привести подобные члены в полученном выражении.

Решение вычислительных задач

Пример 6: упростить выражение и вычислить при :

;

Комментарий: для решения данного примера воспользуемся двумя формулами: для первой скобки квадрата суммы, а для следующей пары скобок – разности квадратов. После в полученном выражении приведём подобные члены и в конечный двучлен подставим значение .

Пример 7: упростить и вычислить:

;;

Комментарий: в данном примере нужно было дважды применить формулу квадрата разности, потом в полученном выражении привести подобные члены. Заметить, что полученное выражение представляет собой квадрат разности, свернуть его и легко произвести вычисление.

Решение уравнений

Перейдём к решению уравнений.

Пример 8:

Комментарий: для решения данного уравнения нужно упростить левую часть, для этого к первой скобке необходимо применить формулу квадрата суммы, а к паре скобок – формулу разности квадратов, далее выполнить соответствующее умножение на , после привести подобные члены и решить линейное уравнение.

Пример 9:

Комментарий: для решения данного уравнения достаточно заметить, что в левой его части расписана разность кубов, свернуть её и решить уравнение.

Пример 10:

Комментарий: для решения данного уравнения нужно раскрыть квадрат суммы в левой части и умножить результат на кроме того, расписать разность квадратов в правой части. После этого собрать все неизвестные в левой части, а свободные члены – в правой, привести подобные и решить линейное уравнение.

Выводы

В данном уроке мы разобрали много различных задач на совместное применение разных формул или использование одной формулы несколько раз. Мы научились решать различные типовые задачи, например вычислительные, на упрощение, уравнения и другие.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 

3. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение. 2006.

Полезные ссылки

1. Интернет-сайт «Школьная математика».

Проверь себя

Задание 1: упростить выражение: а) ; б) . Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 571(8 10), с. 116.

Задание 2: решить уравнение: . Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 573(2), с. 116, № 574(3), с. 116.

Задание 3: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 583, с. 117.