04. Способ группировки в более сложных задачах и уравнениях

На данном уроке мы решим много различных достаточно сложных задач с применением метода группировки. Мы решим много уравнений и научимся геометрически их моделировать.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Решение объёмного примера на разложение на множители

Рассмотрим пример:

Пример 1 – разложить на множители:

;

У всех членов общего множителя нет, значит нужно применить способ группировки. Следует выбрать группы так, чтобы в каждой можно было вынести общий множитель и желательно, чтобы после этого появился общий множитель у всего выражения. Объединим члены по три: первая тройка и вторая:

.

Выносим общие множители в группах:

.

Напомним, что можно проверить, правильно ли множитель вынесен за скобку. Для этого нужно его на эту скобку умножить и проверить, соответствует ли произведение исходному многочлену или группе членов.

Появился общий множитель у всего выражения. Вынесем его:

.

Решение уравнений различной сложности

Способ группировки применяется при решении различных задач, в частности уравнений. Рассмотрим примеры:

Пример 2:

.

Поскольку в левой части уравнения стоит многочлен, то нужно разложить его на множители, чтобы решить уравнение. Общего множителя мы не видим, поэтому следует применить способ группировки. Объединим первый член с третьим и второй с четвёртым:

.

Вынесем общие множители в группах:

.

Очевидно, что у всего выражения появился общий множитель. Вынесем его за скобки:

.

Теперь можем перейти к решению уравнения:

.

Мы уже знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим и решим уравнения:  или .

Решим первое уравнение: ,– уравнение не имеет решений, так как квадрат любого числа это число неотрицательное, то есть большее либо равное нулю.

Решим второе уравнение:

 ,

Ответ: данное уравнение имеет единственное решение .

Пример 3:

Аналогично предыдущему примеру чтобы решить уравнение нужно разложить многочлен в левой части на множители. Но мы не можем сразу воспользоваться способом группировки, так как задан трёхчлен и в нём нельзя выделить группы. Поэтому один из членов нужно представить как два. Для того, чтобы это выполнить, обратим внимание, что , а :

.

Теперь можем выделить группы:

.

Вынесем в группах общие множители:

.

Вынесем появившийся общий множитель:

.

Перейдем к решению уравнения:

;

Аналогично предыдущему примеру составим новые уравнения:  или .

Решим первое уравнение:

,

Решим второе уравнение:

,

Ответ:  или .

Напомним, что корнем уравнения называется такое число , при подстановке которого в уравнение оно превращается в верное равенство.

Пример 4:

 или

,

,

Ответ:  или .

Комментарий: пример решается аналогично предыдущему.

Решение задач на геометрическое построение уравнений

Пример 5 – построить на координатной плоскости (Х0У) график уравнения:

Сначала заданное уравнение нужно решить, для этого воспользуемся методом группировки:

 или

,

,

Построим координатную плоскость. Напомним, что координатная ось считается построенной, если выбрано начало координат, направление положительного возрастания  и масштаб:

Заданное уравнение соответствует двум таким уравнениям:  и .

Рассмотрим первое уравнение: ; про  ничего не известно, значит, он принимает любые значения.

Аналогично второе уравнение, ,  принимает любые значения. Построим две прямые.

Объединение двух прямых и есть исходный график. Любая точка, лежащая на графике, является корнем уравнения.

Напомним, что график – это такое множество точек , координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Пример 6 – построить на координатной плоскости (Х0У) график уравнения:

.

Поступаем, как и в предыдущем примере.

Сгруппируем первый член со вторым и третий с четвёртым:

;

.

Составим и решим уравнения:

 или

,

,

Выполним построение:

Уравнение  это уравнение прямой, проходящей через точку  на оси и параллельной оси 0Х.

Для построения уравнения  составим таблицу:

Для построения прямой достаточно двух точек, но для проверки можно взять третью точку и убедиться, что прямая через неё пройдёт. Возьмём для этого точку , тогда . И прямая действительно проходит через эту точку.

Можем найти точку пересечения двух построенных прямых. Для этого из второго уравнения выразим :

,.

Нам известно, что в точке пересечения . Подставим это значение во второе уравнение и получим значение :

.

Прямые пересекаются в точке .

Отметим, что построенные нами прямые являются геометрическим местом точек, удовлетворяющих заданному уравнению.

Выводы по уроку

В данном уроке мы вспомнили один из методов разложения многочлена на множители – способ группировки, и с его помощью решили много сложных задач и уравнений. Кроме того, научились строить уравнение на координатной плоскости.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Проверь себя

Задание 1: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 485, с. 98.

Задание 2 – решить уравнение: а) ; б) .

Задание 3 – построить уравнение на координатной плоскости: а) ; б) .