01. Степень как частный случай многочлена

На данном уроке будут рассмотрены основные понятия и определения, подготовлена основа для изучения сложной и объёмной темы, а именно: мы вспомним теоретический материал, касающийся степеней – определения, свойства, теоремы, и решим несколько примеров для закрепления техники.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Формулировка основных определений

Определение: многочленом называют сумму одночленов. Напомним, что одночлен есть произведение степеней и чисел.

Пример 1:

;

Комментарий: дана алгебраическая сумма одночленов, алгебраическая подразумевает, что есть как сложение, так и вычитание.

Пример 2:

;

Комментарий: задан также многочлен, но он состоит из двух членов, а потому чаще называется двучленом.

Пример 3:

;

Для того, чтобы овладеть техникой работы с многочленами и научится выполнять основные операции над ними, необходимо повторить определения, свойства и действия, касающиеся степеней и одночленов.

Начнём со степеней и дадим определение степени: - степень с натуральным показателем, здесь – основание степени, – показатель степени; штук, кроме того, напомним, что:  и при ;

Значения степеней часто встречающихся чисел

Вспомним значение часто встречающихся степеней:

• – единица, возведённая в любую натуральную степень, равна единице;

• – ноль, возведённый в любую натуральную степень, равен нулю;

Символ  не имеет смысла.

Определение понятия натурального числа

Напомним, что натуральными называются числа, используемые для счёта, то есть .

Основные теоремы о действиях со степенями и следствия из них

Основные теоремы о действиях со степенями:

1) 

Для того, чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым.

Пример: .

2) при

Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым.

3) 

Для того, чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.

4) 

При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень.

Пример: .

5)

Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень.

Рассмотрим некоторые следствия:

1) – обобщение теоремы о возведении степени в степень.

Пример: ;

2) .

Решение примера на основные теоремы

Рассмотрим примеры:

Пример 1 - упростить:

.

Комментарий: данный пример выполняется согласно вышеописанным правилам, а именно: при возведении в степень, показатели перемножаются, при умножении степеней с одинаковым основание показатели складываются, а при делении – вычитаются.

Решение уравнения со степенями

Пример 2 – решить уравнение:

;

;

;

.

Комментарий: чтобы решить данное уравнение, нужно произвести ряд действий со степенями аналогично предыдущему примеру, а после решить элементарное уравнение.

Вывод: в данном уроке были вспомнены теоретические основы работы со степенями и выполнены примеры для наработки практических навыков.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Проверь себя

1. Вычислить: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 155, ст. 40.

2. Возвести в степень: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 212, ст.50.

3. Упростить: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7, № 549, ст. 157.