04. Степень с натуральным показателем и её свойства

На данном уроке мы вспомним основные определения и свойства степени с натуральным показателем, кроме того, вспомним все основные теоремы и решим различные примеры, чтобы закрепить данную тему.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Основные определения

Вспомним основные определения:

– степень с натуральным показателем, здесь – основание степени, – показатель степени.                    

Кроме того, напомним, что:

 и при ;

Символ , как и символ не имеет смысла.

Все одночлены, многочлены и основные операции с ними основаны на степенях и действиях со степенями, которые мы сейчас вспомним:

Основные теоремы о степенях с одинаковым основанием

Основные теоремы о действиях со степенями:

.

Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым.

при .

Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым.

Пример :

Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.

Основные правила работы со степенями с одинаковым показателем

Мы вспомнили основные правила работы со степенями с одинаковым основанием. В качестве примеров выведем ещё несколько правил:

Пример :  – возвести минус единицу в чётную степень; – возвести минус единицу в нечётную степень.

 – при возведении в квадрат любое число станет положительным, единица в любой степени равна единице, таким образом, независимо от значения  выражение  равно единице.

В предыдущем примере мы показали, что выражение  всегда равно единице. Получаем:

Минус единица в первой степени равна сама себе, получаем:

Рассмотрим теперь правила обращения со степенями с одинаковым показателем:

При умножении степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень;

, ;

Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень;

Пример :

Итак, в числителе и знаменателе перемножим степени с одинаковым основанием:

Возведём в числителе и знаменателе степень в степень:

Выполним деление степеней с одинаковым основанием:

Чтобы получить результат, выполним некоторые преобразования:

Решение вычислительных примеров

Пример : вычислить:

Чтобы решить данный пример, все основания степеней нужно привести к самому простому:

, ,

Итак, получаем:

Выполним возведение степени в степень:

Выполним сокращение дроби:

Вычислим:

Решение других типовых задач

Пример : запишите в виде степени с показателем :

Для того чтобы получить ответ, мы исходные показатели степеней разделили на .

Пример : заменить звёздочку таким выражением, чтобы получилось верное равенство:

Получаем выражение:

– равенство верно

Пример : решить уравнение:

Будем постепенно выполнять действия со степенями в левой части:

Таким образом, наше уравнение приобретает вид:

Решение очевидно.

Выводы по уроку

На данном уроке мы вспомнили основные определения касательно степени с натуральным показателем и её основные свойства. Записали теоремы и решили примеры на их применение.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Проверь себя

1. Задание 1: Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 170, с. 77.

2. Задание 2: Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 173, с. 78.

3. Задание 3: Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 201, с. 79.