10. Степень с натуральным показателем (Г. Г. Гаицгори)

На этом уроке мы познакомимся с понятием степени с натуральным показателем – краткой записью умножения одинаковых множителей. На примерах убедимся, что использование степеней не только позволяет сократить запись некоторых вычислений, но и упростить сами вычисления. Кроме того, мы выведем и докажем свойства степеней с натуральным показателем, потренируемся применять их для упрощения и вычисления значения различных выражений.

Сокращения в повседневной жизни

В повседневной жизни мы часто используем различные сокращения. Например, в школе говорим «физра» вместо «физкультура», «физкультура» вместо «физическая культура». Или используем различные аббревиатуры: например, мы говорим «дэзэ» вместо «домашнее задание».

Понятно, что так намного быстрее и удобнее, когда все знают, о чём идёт речь. Это общая идея, которая часто встречается: если приходится работать с какими-то объектами очень часто, то рано или поздно возникает идея их удобно обозначить.

В математике также используются удобные обозначения, то есть те, для работы с которыми придуманы эффективные алгоритмы. Например, позиционная система записи чисел: мы записываем числа с помощью цифр – число пишем цифрами , , .

Почему мы записываем их именно так, а не палочками, не римскими цифрами или словами? Ответ понятен: потому что позиционная система записи чисел позволяет быстро и удобно выполнять арифметические действия – для этого есть удобный алгоритм.

Например, можно попробовать умножить на  – удобно сделать это умножением в столбик (pис. 1).

Квадрат числа, куб числа

Вспомним, что такое умножение – это удобная запись нескольких операций сложения одинаковых чисел, например: .

Когда для этого обозначения были получены и доказаны свойства, оно превратилось в полноценную арифметическую операцию, которую удобно использовать для вычислений.

А что если нужно умножить одно и то же число несколько раз? Например, чтобы найти площадь квадрата, умножаем его сторону на себя два раза (pис. 2), т. е. , а чтобы найти объём куба – три раза (pис. 2), т. е. .

Вы уже знакомы с короткой записью этих выражений:  – это выражение называется квадратом числа  (площадь квадрата со стороной ), а выражение  – кубом числа  (объём куба с ребром ).

Степень числа с натуральным показателем

А что если число умножается само на себя не или  раза, а  раз?

Обобщим короткую запись квадрата числа и куба числа: если нам нужно будет умножить число на себя много раз, например,  раз, то запишем такое умножение следующим образом:

Определение: степенью числа  с натуральным показателем  называют произведение  множителей, каждый из которых равен : , где  – основание степени (может принимать любые значения),  – показатель степени ().

Обратите внимание, что степень – это не что-то новое, а просто короткая запись умножения одинаковых множителей.

Вычисление плотности Земли

А насколько удобно такое обозначение, пригодится ли оно нам? Рассмотрим пример.

Масса Земли равна  кг. Можно переписать в тоннах: т – получилось не намного более удобно. Особенно, если нужно определить, например, среднюю плотность Земли. Вспомним, что плотность вычисляется по формуле

.

Масса нам известна, осталось посчитать объём Земли. Будем считать Землю её шаром с радиусом  км. Объём шара, как мы знаем, вычисляется по формуле: .

Получится .

Если делить полученные значения массы и объёма в столбик, это займёт много времени

Попробуем использовать введённые обозначения степени.

Масса Земли может быть записана в виде: , где второй множитель – это , умноженное на себя  раза, то есть . Получаем: кг.

Такая запись гораздо компактнее (в частности, чтобы передать такую информацию, нужно всего  знака: первый множитель и степень ). А объём можно переписать в виде:

Кроме компактности записи, использование степеней позволяет сократить и вычисления. Найдём среднюю плотность Земли:

В числителе стоит произведение  множителей , а в знаменателе –  таких множителей. Значит, после сокращения в знаменателе все множители  исчезнут, а в числителе их останется , т. е. получим:

Обратите внимание, что мы всего лишь по-другому записали числа (ввели новый объект – степень), и это помогло упростить и сократить вычисления.

Деление степеней с одинаковым основанием

Вычисляя среднюю плотность Земли, мы вывели одно из свойств степени – деление степеней с одинаковым основанием.

Действительно, пусть нам необходимо поделить две степени с одинаковым основанием:

То же самое можно выполнить для любых степеней:   при ().

Если , то мы получим:

.

Итак, по определению:

Умножение степеней с одинаковым основанием

А что будет, если мы захотим умножить две степени с одинаковым основанием? Например, чему равно выражение: ? Найдём:

Теперь найдём :

А теперь то же самое можно сделать для любых степеней с одинаковым основанием:

Рассмотрим пример с использованием полученных свойств степеней.

Задание 1. Представить в виде степени с основанием :

Решение:

Ответ: .

Возведение степени в степень

Теперь попробуем возвести степень в степень:

Такие же действия мы можем проделывать для любых степеней:

Рассмотрим такой пример.

Задание 2. Вычислить:

Решение:

Ответ:

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

До этого мы рассматривали свойства степеней  одинаковыми основаниями. А что можно сказать про степени с одинаковыми показателями?

Рассмотрим выражение:

Запишем в общем виде:

Аналогично поступим с делением:

Запишем в общем виде:

,

Рассмотрим несколько примеров.

Задание 3. Представить в виде степени с основанием :

Решение:

Ответ: .

Задание 4. Вычислить:

Решение:

Ответ: .

Задание 5. Вычислить:

Решение:

Мы знаем свойства степеней с одинаковым основанием, а в данном примере все они разные. Поэтому упростим основания степеней, разложив их на простые множители:

Перепишем исходное выражение следующим образом:

Вспомним, что деление – это действие, обратное умножению, поэтому если мы хотим поделить на какое-то число, то это то же самое, что умножить на число, обратное ему:

А теперь сгруппируем степени с одинаковым основанием:

Ответ: .

Итак, упрощать выражения со степенями несложно: нужно разложить основания степеней на множители, затем, используя свойства степеней, сгруппировать степени с одинаковыми основаниями и упростить полученные группы степеней.

Заключение

На этом уроке мы ввели короткое обозначение произведения одинаковых чисел – степень с натуральным показателем: , а также получили некоторые свойства степеней и потренировались преобразовывать различные выражения со степенями.

Список рекомендованной литературы

1. Никольский С. М., Решетников Н. Н., Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2014.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2013

Проверь себя

1. Запишите произведение в виде степени: .

2. Вычислите: .

3. Упростите выражение: .