09. Тождества

На данном уроке мы сформируем понятие и дадим определение тождества, сформулируем его отличия от уравнения. Кроме того, мы научимся определять допустимые значения переменных. Мы решим много различных примеров, связанных с тождествами и тождественными преобразованиями.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Формулировка понятия тождества

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Данное уравнение мы решали методом выделения полного квадрата и получили корни  или .

Пример 2.

Данное уравнение мы также решали методом выделения полного квадрата и получили ответ  или .

Это означает, что в случае примера 1 только при  или  уравнение превращалось в верное числовое равенство, для второго примера только при  или уравнение превращалось в верное числовое равенство.

Повторим ход решения примера 1. После преобразований мы получили уравнение , из которого явно видно, что  и  являются решениями данного уравнения.

Уравнение из примера раскладывалось так:  и отсюда тоже явно следует ответ.

Для нас важно то, что приведённые выше выражения справедливы каждое только для своей пары значений переменной и эти значения имеют название корни уравнения.

Но существуют такие выражения, которые справедливы при любых значениях переменных, которые в них входят. Рассмотрим примеры:

Пример 3.

Подставив в выражение любые значения и мы получим верное числовое равенство.

Пример 4.

Формула квадрата разности утверждает, что данное выражение справедливо при любых значениях

Выражения из примеров и мы будем называть тождествами. Подобных примеров можно привести очень много:

Пример 5.

Данное выражение также справедливо при любых значениях переменных.

В этом и заключается принципиальное отличие уравнения от тождества. Тождество – это такое равенство, которое верно при любых значениях переменных, которые в него входят, уравнение же справедливо только при некоторых значениях переменных.

Уточним, что значит любые значения переменных. Рассмотрим элементарное равенство:
какое бы значение  не принимал, равенство будет справедливым.

Разделим обе стороны на :

.

Данное выражение будет справедливо при любых кроме , потому что в знаменателе обеих дробей стоит двучлен , и эти дроби определены, то есть их можно вычислить, только если знаменатель не равен нулю: , то есть .

Пример 6.

Данное выражение является тождеством, так как оно справедливо во всех случаях кроме тех, когда знаменатель равен нулю. То есть, оно справедливо при всех кроме , так как в этом случае дробь не имеет смысла.

Решение простых примеров

Итак, появились значения переменных, при которых даже само выражение не имеет смысла, в связи с этим скорректируем определение тождества: тождество это выражение, обращающееся в верное равенство при всех допустимых значениях переменных, которые в него входят.

Рассмотрим задачи.

Пример 7.

Доказать тождество:

Мы уже встречались с подобными примерами, говорили, что .

Теперь докажем, что выражение под квадратом можно умножить на минус единицу и получится верное равенство. Для этого в заданном выражении раскроем скобки:

.

Мы знаем, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, таким образом, тождество доказано.

Но его можно доказать и другим способом:

.

Пример 8.

Преобразуем левую часть:

После преобразований получаем:

.

Тождество доказано.

Заметим, что тождественные преобразования – это те преобразования, при которых одно выражение заменяется другим, тождественно ему равным.

Пример 9.

Есть два способа решения данной задачи. Первый – это напрямую в левой части раскрыть квадрат, выполнить умножение одночлена на двучлен, привести подобные члены и посмотреть, окажется ли выражение тождеством или нет.

Второй способ – преобразовать левую часть при помощи метода вынесения общего множителя:

.

Теперь мы видим, что левая часть – это разность квадратов. Преобразует её:

.

Получаем выражение:

.

Тождество доказано.

Пример 10.

Доказать, что если , , , то выражения   и  тождественно равны при любых значениях  :

Рассмотри два заданных выражения. В первом и  стоят с плюсом, а  с минусом, во втором наоборот  стоит с плюсом, а и стоят с минусом, значит первое выражение равно второму, взятому с противоположным знаком. То есть имеем некоторое выражение :

,,,подставим значения и в заданное выражение:

.

Упростим выражение:

.

Приведём подобные члены:

Тождество доказано.

Решение примеров с определением допустимых значений переменных

Пример 11.

Установите, является ли данное равенство тождеством и если да, то укажите допустимые значения переменных:

Начнём с определения допустимых значений :

,, и .

Получили, что все значения , кроме  и  являются допустимыми, так как в этих двух точках знаменатель обращается в ноль и дробь не имеет смысла.

Теперь нужно упростить выражение в левой части. Это алгебраическая дробь и мы знаем, что нужно разложить на множители входящие в неё многочлены и сократить. В числителе применим формулу разности квадратов, а знаменатель оставим:

Получаем:

.

Данное выражение является тождеством при всех значениях , кроме  и .

Пример 12.

Установите, является ли данное равенство тождеством и если да, то укажите допустимые значения переменных:

Левая часть является алгебраической дробью, многочлены в числителе и знаменателе нужно разложить на множители:

Мы видим в числителе и знаменателе одинаковые выражения, которые можно сократить, но обязательно при этом нужно указывать допустимые значения:

Получаем:

Выражение является тождеством для всех значений, кроме:.

Доказательство более сложных тождеств

Пример 13.

Доказать тождество:

Пример 14.

Доказать тождество:

Сначала упростим дробь:

Приведём подобные в левой части:

Свернём полный квадрат по формуле:

.

Выводы по уроку

В данном уроке мы ознакомились с понятием тождества, дали его определение, научились определять допустимые значения переменных. Мы решили много примеров различной сложности и научились доказывать тождества, преобразуя только одну часть выражения или сразу обе.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Проверь себя

1. Доказать тождество:

а); б);

в); г) .

1. Доказать тождество:

а);

б);

в);

г).

1. Доказать тождество и указать допустимые значения переменных:

а); б) .