05. Умножение двучленов. Типовые задачи

Формирование теоретической базы

Для того чтобы вплотную перейти к теме умножения многочленов, научимся умножать простейшие многочлены – двучлены. Напомним, что основное правило умножения многочленов базируется на распределительном законе умножения:

•  – для двучлена;

•  – для трёхчлена.

Напомним правило умножения многочлена на одночлен: нужно умножить каждый член многочлена на этот одночлен, записать алгебраическую сумму произведений, привести полученный многочлен к стандартному виду.

Рассмотрим пример умножения простейших двучленов:

Обозначим как , тогда получим:

Вернёмся к исходным переменным. Получим:

.

Комментарий: все действия базируются на распределительном законе умножения.

Формулировка правила умножения двучленов

Сформулируем правило умножения двучленов: каждый элемент первого двучлена умножается на каждый элемент второго двучлена, записывается алгебраическая сумма полученных произведений, производится приведение нового многочлена к стандартному виду.

Наша цель доказать, что это правило справедливо как для двучленов, так и для трёхчленов и для любых многочленов.

Решение примеров

Рассмотрим примеры.

Пример 1: .

Комментарий: пример выполняется согласно сформулированному выше правилу.

Пример 2:.

Комментарий: пример выполняется аналогично предыдущему.

Пример 3:.

Комментарий: в данном примере следует обратить внимание на знаки и внимательно раскрывать скобки.

Решение первой типовой задачи – на упрощение выражений

Перейдём к типовым задачам.

Задача 1 – упростить выражение:

.

Комментарий: при выполнении данного примера следует вспомнить теорему о произведении степеней и правильно согласно этого выполнить действия.

Решение второй типовой задачи – вычислительной

Задача 2 – упростить и вычислить:

;

Комментарий: пример решается аналогично предыдущему с тем лишь дополнением, что после приведения подобных нужно подставить вместо переменных их значения и получить численное значение многочлена. Для удобства вычисления следует вспомнить, что при умножении любого числа на ноль получается ноль, а при возведении единицы в любую натуральную степень получается единица

Выведение некоторых важных тождеств

Рассмотрим простой пример умножения двучленов, который в последствии будет использоваться при решении других задач:

.

Нами получено важное тождество, к которому мы вернёмся немного позже:

.

Данное выражение является тождеством, так как оно справедливо при любых значениях переменных, которые в него входят. Словесно это тождество может быть представлено так: произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Перейдём к следующему примеру:

.

Запишем полученное тождество несколько в другом виде:

.

Данное тождество также является очень важным, и к нему мы ещё вернёмся.

Сразу обратим внимание на типичную ошибку:. Данное выражение ни в коем случае не является верным тождеством, так как

Рассмотрим пример:, так как , а , .

Получим ещё одно важное тождество:

.

Выпишем полученное тождество, чтобы потом к нему вернуться:

.

Выписанные тождества называют формулами сокращённого умножения, и мы ими не раз будем пользоваться.

Решение третьей типовой задачи – уравнений

Вернёмся к типовым задачам.

Задача 3 – решить уравнение:

Пример 1:

Комментарий: для решения данного уравнения нужно упростить выражение в левой его части, для этого выполнить умножение двучленов согласно правилу. Нужно обратить внимание на правило вычитания многочленов и учитывая все знаки правильно раскрыть скобки. После этого привести подобные члены и решить элементарное линейное уравнение.

Пример 2:

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему.

Заключение

В данном уроке была рассмотрена операция умножения двучленов, приведены и решены многочисленные примеры на эту операцию. Были решены основные типовые задачи и выведены несколько важных тождеств.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Решение задач по математике онлайн.

Проверь себя

Задание 1: Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 265, стр. 106.

Задание 2: Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 269, стр. 107.

Задание 3: Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 272, стр. 107.