06. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми показателями. Сначала вспомним основные определения и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и возведении степень в степень. Затем сформулируем и докажем теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями. А затем с их помощью решим ряд типичных задач.

Напоминание основных определений и теорем

Напоминание:

Основные определения:

Здесь - основание степени,

  - показатель степени,

- n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа и любых натуральных и справедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остаётся неизменным.

Теорема 2. Для любого числа и любых натуральных и  таких, что справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остаётся неизменным.

Теорема 3. Для любого числа и любых натуральных и справедливо равенство:

Все перечисленные теоремы были о степенях с одинаковыми основаниями, на этом уроке будут рассмотрены степени с одинаковыми показателями.

Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями

Рассмотрим следующие примеры:

Распишем выражения по определению степени.

1)

2)

Вывод: из примеров можно заметить, что , но это ещё нужно доказать. Сформулируем теорему и докажем её в общем случае, то есть для любых и и любого натурального

Формулировка и доказательство теоремы 4

Теорема 4

Для любых чисел и и любого натурального справедливо равенство:

Доказательство теоремы 4.

По определению степени:

 .

Итак, мы доказали, что .

Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

Формулировка и доказательство теоремы 5

Сформулируем теорему для деления степеней с одинаковыми показателями.

Теорема 5

Для любого числа и () и любого натурального справедливо равенство:

Доказательство теоремы 5.

Распишем  и по определению степени:

Формулировка теорем словами

Итак, мы доказали, что .

Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

Решение типичных задач с помощью теоремы 4

Пример 1: Представить в виде произведения степеней.

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 4.

а)

б)

в)

Для решения следующего примера вспомним формулы:

г)

д)

е)

ж)

Обобщение теоремы 4

Обобщение теоремы 4:

Решение примеров с помощью обобщенной теоремы 4

з)

и)

к)

л)

Продолжение решения типичных задач

Пример 2: Запишите в виде степени произведения.

а)

б)

в)

г)

Пример 3: Запишите в виде степени с показателем 2.

а) 

б) 

Примеры на вычисление

Пример 4: Вычислить самым рациональным способом.

а)

б)

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Проверь себя

1. Представить в виде произведения степеней:

а);

б);

в);

г).

2. Запишите в виде степени произведения:

а)

б);

в).

3. Запишите в виде степени с показателем 2:

а)

б)

в).

4. Вычислить самым рациональным способом.

а)