Умножение многочлена на многочлен

Обобщение ранее выученного материала

Напомним, что на предыдущих уроках мы научились умножать многочлен на одночлен, двучлен на двучлен, трёхчлен на трёхчлен и вывели соответствующие правила. Все они базируются на распределительном законе умножения. Вспомним их:

•  – распределительный закон умножения;

•  – правило умножения двучленов;

•  – правило умножения двучлена на трёхчлен;

•  – правило перемножения трёхчленов.

Итак, словесно все эти правила можно сформулировать так: чтобы умножить заданный многочлен на другой многочлен, нужно каждый член первого умножить на каждый член второго многочлена, полученные произведения алгебраически сложить и, если есть такая возможность, привести результат к многочлену стандартного вида.

Решение примеров на умножение многочленов

Рассмотрим примеры:

Пример 1:

Комментарий: для решения данного примера нужно выполнить умножение двучлена на многочлен согласно сформулированному выше правилу, следует обратить внимание на знаки, так как в двучлене присутствует знак минус, после выполнения умножения нужно привести подобные члены.

Пример 2:

Комментарий: пример решается аналогично предыдущему, но в данном случае следует быть внимательными при умножении степеней и помнить, что показатели при этом складываются.

Решение примеров на работу с двучленами

Приведённые примеры подтвердили идентичность правила умножения для любых многочленов.

Перейдём к более сложным примерам.

Пример 3 – доказать тождество:

Тождество очевидно.

Комментарий: для решения данной задачи необходимо выполнить умножение двучленов в правой и левой части выражения, затем привести подобные члены и увидеть очевидную тождественность результирующих многочленов в правой и левой части.

Пример 4 – решить уравнение:

Комментарий: для решения данного уравнения нужно выполнить умножение двучленов в правой и левой части, привести полученные многочлены к стандартному виду, после этого перенести все неизвестные величины в левую часть, а свободные члены в правую и решить элементарное линейное уравнение.

Решение примера на упрощение выражения

Пример 5 – упростить и вычислить:

При

.

Комментарий: для решения данного задания нужно для начала упростить выражение, то есть выполнить умножение двучленов, после этого упростить полученные выражения, только после этого раскрыть скобки у второго выражения, обратив внимание на минус перед ним. Напомним, что если перед скобкой стоит минус, то все знаки выражения поменяются на противоположные. После раскрытия скобок привести полученный многочлен к стандартному виду – привести подобные члены. В полученное элементарное выражение подставить значение переменной и выполнить вычисление.

Пример 6:

Комментарий: для решения данного примера нужно выполнить умножение заданных многочленов, привести в полученных многочленах подобные, после этого аккуратно раскрыть скобки у второго многочлена, учитывая знак минус перед ним, после этого привести подобные члены.

Выводы по уроку

На данном уроке были собраны в таблицу правила умножения многочленов, сформулировано правило умножения в общем случае и решены несколько различных примеров, в частности: доказать тождество, вычислить значение выражения, решить уравнение, упростить.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Проверь себя

1. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 400, ст. 83: 5, 6; № 401, с. 83: 4.

2. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7, № 271, с. 107.

3. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7, № 720, с. 188.