04. Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи

На данном уроке будет изучена операция умножения многочлена на одночлен, являющаяся основой для изучения умножения многочленов. Вспомним распределительный закон умножения и сформулируем правило умножения любого многочлена на одночлен. Также вспомним некоторые свойства степеней. Кроме того, будут сформулированы типовые ошибки при выполнении различных примеров.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Теоретические основы для выполнения умножения многочлена на одночлен - формулировка

Операция умножения многочлена на одночлен является основой для рассмотрения операции умножения многочлена на многочлен и нужно сначала научиться умножать многочлен на одночлен, чтобы разобраться в умножении многочленов.

Основой данной операции является распределительный закон умножения. Напомним его:

.

По существу, мы видим правило умножения многочлена, в данном случае двучлена, на одночлен и это правило можно сформулировать так: чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен. Сложить алгебраически полученные произведения, после чего произвести над многочленом необходимые действия – а именно привести его к стандартному виду.

Правило умножения многочлена на одночлен, решение примеров

Рассмотрим пример:

Комментарий: данный пример решается, точно следуя правилу: каждый член многочлена умножается на одночлен. Для того, чтобы хорошо понять и усвоить распределительный закон, в данном примере члены многочлена были заменены на и соответственно, а одночлен на после этого выполнено элементарное действие в соответствии с распределительным законом и выполнена подстановка исходных значений. Следует быть внимательными со знаками и правильно выполнить умножение на минус единицу.

Рассмотрим пример умножения трёхчлена на одночлен и убедимся, что оно ничем не отличается от такой же операции с двучленом:

.

Перейдём к решению примеров:

Пример 1:

Комментарий: данный пример решается согласно распределительному закону и аналогично предыдущему примеру - каждый член многочлена умножается на одночлен, полученный многочлен уже записан в стандартном виде, поэтому упростить его нельзя.

Пример 2 – выполнить действия и получить многочлен в стандартном виде:

.

Комментарий: для решения данного примера сначала произведём умножение для первого и второго двучленов согласно распределительному закону, после этого приведём полученный многочлен к стандартному виду - приведём подобные члены.

Теперь сформулируем основные задачи, связанные с операцией умножения многочлена на одночлен, и приведём примеры их решения.

Решение первой типовой задачи – на упрощение выражений

Задача 1 – упростить выражение:

.

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, а именно вначале производится умножение многочленов на соответствующие одночлены, после этого приведение подобных.

Решение второй типовой задачи – вычислительной

Задача 2 – упростить и вычислить:

Пример 1: ;

;

.

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, с тем лишь дополнением, что после приведения подобных членов нужно вместо переменной подставить её конкретное значение и вычислить значение многочлена. Напомним, чтобы легко умножить десятичную дробь на десять, нужно переместить запятую на один разряд вправо.

Пример 2:

Найти значение многочлена при

.

Решение третьей типовой задачи – уравнение

Задача 3 – решить уравнение:

Пример 1:

Комментарий: для решения данного уравнения упростим левую его часть: произведём умножение многочленов на соответствующие им одночлены, а свободный член перенесём в правую часть. После приведения подобных остаётся решить элементарное уравнение.

Пример 2:

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему.

Формулировка типичных ошибок

Хотелось бы обратить внимание на типовые ошибки во избежание таковых в дальнейшем:

 – неверно!  так как ;

 – неверно!  так как .

Вывод: в данном уроке была изучена операция умножения многочлена на одночлен и рассмотрены различные примеры. Кроме того, были сформулированы и решены основные типовые задачи, касающиеся данной операции.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Старая школа.

2. Интернет-портал «fizmat.by».

Проверь себя

Задание 1: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7, № 695, стр. 184.

Задание 2: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 359, стр. 76.

Задание 3: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 362, стр. 76.