08. Умножение многочленов в текстовых задачах

Формулировка темы и цели урока

Напомним, что на предыдущих уроках мы научились умножать различные многочлены, вывели правила для каждого конкретного случая и общее правило для умножения многочленов и свели их в таблицу.

Отличием же данного урока является то, что все многочлены, перед тем как выполнять с ними какие-то действия, мы должны будем самостоятельно составить, исходя из условия конкретной задачи. Для того чтобы это делать, мы должны помнить, что такое математическая модель. Напомним основные моменты: в любой текстовой задаче словесно описано какое-то условие, которое мы должны перевести на математический язык, то есть ввести переменные, определить связи между ними, записать уравнение, ограничения и т. д. Это называется составлением математической модели.

Рассмотрим примеры.

Решение задачи № 1

Пример 1

Найдите 4 последовательных натуральных числа, если известно, что разность между произведениями двух больших чисел и двух меньших чисел равна

1 этап – составление математической модели.

Примем первое из четырёх последовательных чисел за , тогда последующие числа можно записать как .

Наложим ограничения на . Согласно условию, – число натуральное, а значит:

, то есть .

Опишем связи между нашими числами. В задаче идёт речь о произведении двух больших чисел. Запишем его:

.

Кроме того, говорится о произведении двух меньших чисел. Запишем и его:

.

Говорится, что разность произведения больших и меньших чисел равна Запишем это с помощью введённых выражений:

.

Математическая модель составлена.

2 этап – работа с математической моделью.

В данном случае работа с математической моделью заключается в решении составленного уравнения, а для этого нужно выполнить умножение двучленов и приведение полученного выражения к многочлену стандартного вида, причём все неизвестные лучше перенести в левую часть, а свободные члены – в правую:

.

Второй этап завершён – уравнение решено, значение  установлено.

3 этап – ответ на вопрос задачи.

В задаче было сказано найти четыре последовательных числа, удовлетворяющие конкретному условию. Поскольку числа были обозначены как , , , , а , то можем дать ответ на поставленную задачу: 4 последовательных числа – это

Решение задачи № 2

Пример 2

Даны три числа, каждое из которых на три больше предыдущего. Найдите эти числа, если известно, что произведение меньшего и большего на меньше произведения большего и среднего.

1 этап

Пусть первое число – .

Тогда дано , , .

Запишем связи, заданные по условию:

 – произведение меньшего и большего чисел;

 – произведение большего и среднего.

В условии задана разница вышеописанных произведений:

.

2 этап

Решим уравнение:

3 этап

В задаче было сказано найти три числа, удовлетворяющие конкретному условию. Мы нашли . А три числа были описаны как , , . Итак, имеем ответ к задаче: три числа – это

Выводы по уроку

На данном уроке мы решили две типовые текстовые задачи, в которых с применением метода математического моделирования научились составлять многочлены и выражения с ними из текстового условия и решать такого типа задания.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

Проверь себя

1. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. № 405, с. 84.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. № 406, с. 84.

3. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. № 407, с. 84.