01. Степень как частный случай многочлена
14 мин
02. Приведение многочленов к стандартному виду. Типовые задачи
31 мин
03. Сложение и вычитание многочленов. Типовые задачи
27 мин
04. Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи
26 мин
05. Умножение двучленов. Типовые задачи
29 мин
06. Умножение трёхчленов. Типовые задачи
18 мин
07. Умножение многочлена на многочлен
30 мин
08. Умножение многочленов в текстовых задачах
18 мин
09. Умножение многочленов в задачах с элементами геометрии
25 мин
10. Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и квадрат разности
36 мин
11. Формулы сокращённого умножения. Разность квадратов
33 мин
12. Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов
20 мин
13. Совместное применение формул сокращённого умножения
24 мин
14. Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч. 1
17 мин
15. Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч. 2
30 мин
16. Геометрическая задача на параллелепипед с применением формулы сокращённого умножения
10 мин
17. Деление многочлена на одночлен
19 мин
09. Умножение многочленов в задачах с элементами геометрии
Видео доступно по абонементу
Формулировка темы и цели урока
На предыдущем уроке мы решали задачи с применением метода математического моделирования. Отличие этого урока заключается в том, что в задачах будут присутствовать элементы геометрии. Рассмотрим примеры.
Решение задачи № 1, напоминание теоретических положений
Пример 1
Длина прямоугольника на м больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на м, а ширину увеличить на м, то его площадь увеличится на . Найдите стороны прямоугольника.
Рассмотрим некоторые теоретические положения.
Обозначим сторону за Это длина прямоугольника. Сторону обозначим за это ширина прямоугольника. Напомним, что противоположные стороны прямоугольника равны, а значит, ; .
Запишем формулу площади прямоугольника, которая вычисляется как произведение длины на ширину:
.
Запишем формулу периметра прямоугольника, который вычисляется как сумма длин всех сторон:
.
Итак, перейдём к решению задачи. Снова пользуемся методом математического моделирования.
1 этап – составление математической модели.
Примем ширину прямоугольника за В условии сказано, что длина на м больше ширины, отсюда получаем, что длина равна .
В условии речь идёт о том, что площадь нового прямоугольника увеличится по сравнению с площадью данного. Запишем для начала площадь данного прямоугольника:
.
Далее в задаче сказано, что длину исходного прямоугольника уменьшили на м, значит, длина нового прямоугольника будет .
Про ширину сказано, что её увеличили на м, значит, ширина станет .
Кроме того, нам нужна площадь нового прямоугольника, запишем её:
.
В условии сказано, что площадь нового прямоугольника больше площади исходного на . Запишем это в виде уравнения:
.
Математическая модель составлена.
2 этап – работа с математической моделью.
В данном случае работа с моделью заключается в решении составленного уравнения. Для того чтобы решить его, нужно выполнить умножение многочленов, после привести подобные члены, перенести все неизвестные влево, а свободные члены вправо и решить элементарное линейное уравнение.
3 этап – ответ на вопрос задачи.
В условии было задано найти стороны исходного прямоугольника. Мы нашли , за была принята ширина, длина была обозначена как , значит, длина равна .
Ответ: ширина – м, длина – м.
Решение задачи № 2
Пример 2
Периметр прямоугольника равен см. Если длину прямоугольника уменьшить на см, а ширину увеличить на см, площадь его увеличится на . Найти стороны прямоугольника.
1 этап – составление математической модели.
Пусть длина прямоугольника равна Известен периметр, который, как мы знаем, равен сумме длин всех сторон, значит, можем вычислить ширину:
Запишем площадь исходного прямоугольника:
.
Далее стороны прямоугольника необходимо изменить, а именно: длину прямоугольника уменьшить на см, а ширину увеличить на см. Получим, что новая длина равна , а новая ширина .
Кроме того, запишем площадь нового прямоугольника:
.
В условии сказано, что площадь нового прямоугольника увеличится на относительно площади исходного. Запишем это в виде уравнения:
.
Составление модели завершено.
2 этап – работа с математической моделью.
Решим составленное уравнение:
3 этап – ответ на вопрос задачи.
Было задано найти стороны исходного прямоугольника. Мы нашли , за была принята длина прямоугольника. Ширина была определена как , значит, она равна .
Ответ: стороны прямоугольника равны и сантиметра.
Выводы по уроку
На данном уроке были решены две текстовые задачи с элементами геометрии и приобретены навыки решения такого типа задач. Кроме того, закреплены навыки использования метода математического моделирования.
Рекомендованная литература
Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.
Проверь себя
Задание 1: сторона квадрата на см меньше длины и на см меньше ширины прямоугольника. Найти стороны прямоугольника, если площадь квадрата на меньше площади прямоугольника.
Задание 2: длина прямоугольника в четыре раза больше его ширины. Если длину уменьшить на см, а ширину увеличить на см, то площадь прямоугольника уменьшится на . Найти стороны прямоугольника.
Задание 3: периметр прямоугольника равен см. Если его длину увеличить на см, а ширину уменьшить на см, то его площадь увеличится на . Найти площадь исходного прямоугольника.