01. Степень как частный случай многочлена
02. Приведение многочленов к стандартному виду. Типовые задачи
03. Сложение и вычитание многочленов. Типовые задачи
04. Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи
05. Умножение двучленов. Типовые задачи
06. Умножение трёхчленов. Типовые задачи
07. Умножение многочлена на многочлен
08. Умножение многочленов в текстовых задачах
09. Умножение многочленов в задачах с элементами геометрии
10. Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и квадрат разности
11. Формулы сокращённого умножения. Разность квадратов
12. Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов
13. Совместное применение формул сокращённого умножения
14. Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч. 1
15. Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч. 2
16. Геометрическая задача на параллелепипед с применением формулы сокращённого умножения
17. Деление многочлена на одночлен
Умножение многочленов в задачах с элементами геометрии
Видео доступно по абонементу
Формулировка темы и цели урока
На предыдущем уроке мы решали задачи с применением метода математического моделирования. Отличие этого урока заключается в том, что в задачах будут присутствовать элементы геометрии. Рассмотрим примеры.
Решение задачи № 1, напоминание теоретических положений
Пример 1
Длина прямоугольника на м больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на м, а ширину увеличить на м, то его площадь увеличится на . Найдите стороны прямоугольника.
Рассмотрим некоторые теоретические положения.
Обозначим сторону за Это длина прямоугольника. Сторону обозначим за это ширина прямоугольника. Напомним, что противоположные стороны прямоугольника равны, а значит, ; .
Запишем формулу площади прямоугольника, которая вычисляется как произведение длины на ширину:
.
Запишем формулу периметра прямоугольника, который вычисляется как сумма длин всех сторон:
.
Итак, перейдём к решению задачи. Снова пользуемся методом математического моделирования.
1 этап – составление математической модели.
Примем ширину прямоугольника за В условии сказано, что длина на м больше ширины, отсюда получаем, что длина равна .
В условии речь идёт о том, что площадь нового прямоугольника увеличится по сравнению с площадью данного. Запишем для начала площадь данного прямоугольника:
.
Далее в задаче сказано, что длину исходного прямоугольника уменьшили на м, значит, длина нового прямоугольника будет .
Про ширину сказано, что её увеличили на м, значит, ширина станет .
Кроме того, нам нужна площадь нового прямоугольника, запишем её:
.
В условии сказано, что площадь нового прямоугольника больше площади исходного на . Запишем это в виде уравнения:
.
Математическая модель составлена.
2 этап – работа с математической моделью.
В данном случае работа с моделью заключается в решении составленного уравнения. Для того чтобы решить его, нужно выполнить умножение многочленов, после привести подобные члены, перенести все неизвестные влево, а свободные члены вправо и решить элементарное линейное уравнение.
3 этап – ответ на вопрос задачи.
В условии было задано найти стороны исходного прямоугольника. Мы нашли , за была принята ширина, длина была обозначена как , значит, длина равна .
Ответ: ширина – м, длина – м.
Решение задачи № 2
Пример 2
Периметр прямоугольника равен см. Если длину прямоугольника уменьшить на см, а ширину увеличить на см, площадь его увеличится на . Найти стороны прямоугольника.
1 этап – составление математической модели.
Пусть длина прямоугольника равна Известен периметр, который, как мы знаем, равен сумме длин всех сторон, значит, можем вычислить ширину:
Запишем площадь исходного прямоугольника:
.
Далее стороны прямоугольника необходимо изменить, а именно: длину прямоугольника уменьшить на см, а ширину увеличить на см. Получим, что новая длина равна , а новая ширина .
Кроме того, запишем площадь нового прямоугольника:
.
В условии сказано, что площадь нового прямоугольника увеличится на относительно площади исходного. Запишем это в виде уравнения:
.
Составление модели завершено.
2 этап – работа с математической моделью.
Решим составленное уравнение:
3 этап – ответ на вопрос задачи.
Было задано найти стороны исходного прямоугольника. Мы нашли , за была принята длина прямоугольника. Ширина была определена как , значит, она равна .
Ответ: стороны прямоугольника равны и сантиметра.
Выводы по уроку
На данном уроке были решены две текстовые задачи с элементами геометрии и приобретены навыки решения такого типа задач. Кроме того, закреплены навыки использования метода математического моделирования.
Рекомендованная литература
Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.
Проверь себя
Задание 1: сторона квадрата на см меньше длины и на см меньше ширины прямоугольника. Найти стороны прямоугольника, если площадь квадрата на меньше площади прямоугольника.
Задание 2: длина прямоугольника в четыре раза больше его ширины. Если длину уменьшить на см, а ширину увеличить на см, то площадь прямоугольника уменьшится на . Найти стороны прямоугольника.
Задание 3: периметр прямоугольника равен см. Если его длину увеличить на см, а ширину уменьшить на см, то его площадь увеличится на . Найти площадь исходного прямоугольника.