05. Умножение одночленов, возведение в натуральную степень

Разъяснение операции умножения и возведения в натуральную степень

Из предыдущих уроков мы запомнили, что можно складывать и вычитать одночлены, но только подобные, а вот умножать и возводить в натуральную степень можно любые одночлены. Выясним, почему это возможно, рассмотрев примеры.

Пример 1:. Данный одночлен приведён к стандартному виду. Что же значит умножить его на другой одночлен?

;

И умножить все это на третий одночлен:

;

В результате мы получили одночлен – произведение чисел и степеней, в не стандартном виде. Отсюда следует, что умножать можно любые одночлены.

Приведём полученный одночлен к стандартному виду:

.

Поскольку возведение в степень это, по сути, умножение одночлена на себя какое-то количество раз, а умножать можно любые одночлены, мы имеем полное право возводить одночлены, причем снова любые, в натуральную степень.

Примеры

Разберём примеры.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Комментарии к примерам : при умножении двух и более одночленов результатом является новый одночлен не стандартного вида, поэтому, чтобы выполнить операцию умножения, нужно только привести этот новый одночлен к стандартному виду.

Рассмотрим примеры на возведение одночлена в степень.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

Краткие выводы по операциям умножения и возведения в степень

Комментарии к примерам : при возведении одночлена в степень необходимо сначала возвести в степень его коэффициент, а потом буквенную часть. Для этого следует вспомнить правило возведения степени в степень, а именно, что показатели степеней перемножаются. Кроме того, при решении примеров и следует вспомнить, что в любой чётной степени даст а в нечётной – .

Решение прямой и обратной задач на возведение одночлена в степень

Рассмотрим типовые задачи:

Пример 1:  и

Поскольку - это натуральная степень, а мы можем возводить одночлен в любую натуральную степень, выполним первое действие:

.

Для решения второго действия нужно вспомнить, что любое число в нулевой степени это единица, при условии, что это число не ноль, так как  не имеет смысла, то есть, мы имеем право написать:

, при и .

Пример 2: вместо знака «*» поставить такой одночлен, чтобы равенство выполнялось:

.

Коэффициент в левой части пока равен трём, а в правой – девяти, значит, в левой части не хватает тройки; переменная в левой части стоит во второй степени, а в правой в третьей, значит левую часть нужно умножить на в первой степени:

.

Рассмотрим следующую типовую задачу. Представить данный одночлен в виде квадрата некоторого одночлена:

Пример 1: .

Нужно определить, какой одночлен возвести в квадрат, чтобы получить заданный.

Чтобы получить нужно возвести в квадрат, то есть коэффициент искомого одночлена

Чтобы получить , нужно  возвести в квадрат, итак, мы имеем:

.

Но возникает вопрос, однозначен ли данный нами ответ? Можно ли подобрать другой такой одночлен, который при возведении в квадрат даст заданный одночлен?

Для ответа на этот вопрос вспомним, что , то есть существует ещё один одночлен, которые при возведении в квадрат даст нам заданный – это .

Пример 2:.

Данный пример решается аналогично предыдущему.

Решение задачи на упрощение

Рассмотрим задачу на упрощение

Пример 1:

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели операции умножения одночленов и возведения их в натуральную степень, научились решать некоторые типовые задачи.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Проверь себя

Задание 1: выполнить умножение:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 2: возвести в степень:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 3: представить одночлен в виде:

а) произведения трёх одночленов стандартного вида;

б) произведения двух одночленов, один из которых ;

в) квадрата одночлена стандартного вида;

г) куба одночлена стандартного вида.