05. Возведение степени в степень (формула (aⁿ)ᵏ = aⁿᵏ)

На этом уроке мы изучим возведение степени в степень. Вначале вспомним определение степени и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковым основанием. Далее будет сформулирована теорема о возведении степени в степень. Затем мы приведём примеры её использования на конкретных числах и докажем её. Также мы применим теорему для решения различных задач и будем решать типичные примеры с помощью всех теорем.

Напоминание:

Основные определения: , , , .

Здесь – основание степени, – показатель степени, – n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа и любых натуральных и справедливо равенство: .

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остаётся неизменным.

Теорема 2. Для любого числа a и любых натуральных и таких, что справедливо равенство:

.

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остаётся неизменным.

На этом уроке будет рассмотрена следующая теорема.

Теорема 3. Для любого числа и любых натуральных и справедливо равенство:

.

Вывод: частные случаи подтвердили правильность формулы . Докажем её в общем случае, то есть для любого и любых натуральных и

По определению степени:  .

Применим теорему 1: .

Итак, мы доказали: , где – любое число, и – любые натуральные числа.

Другими словами, чтобы возвести степень в степень показатели нужно перемножить, а основание оставить неизменным.

Пример 1: Упростить.

Для решения следующих примеров воспользуемся свойством .

а)

б)

в)

Комментарий к примеру 1.

Мы написали, что , но в то же время , так как .

Аналогично, .

В качестве основания может быть любое допустимое алгебраическое выражение:

Пример 2: Упростить.

а)

б)

Пример 3: Вычислить.

а)

б)

в)

г) . Комментарий:

д) . Комментарий:

е) . Комментарий:

Пример 4: Упростить.

Для решения следующих примеров будем пользоваться теоремами

а)

б)

в)

г)

д)  или быстрее

е)

Пример 5: Вычислить:

а)

Список литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «Testent.ru».

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».

Проверь себя

1. Упростить:
   а) ;

   б) ;

   в) .

2.  Вычислить:
   а) ;

   б) ;

   в) . 

3. Упростить:
   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г)

4. Вычислить:
   а) ;

   б) .