07. Взаимное расположение графиков линейных функций

На данном уроке мы вспомним всё, что изучили о линейных функциях и рассмотрим различные варианты расположения их графиков, вспомним свойства параметров и рассмотрим их влияние на график функции.

Напоминание теоретических положений

Напомним, что линейной называется функция вида:

- независимая переменная, аргумент;

- зависимая переменная, функция;

и – некоторые числа, параметры, одновременно они не могут быть равны нулю.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Важно понимать смысл параметров и и на что они влияют.

Рассмотрение случаев параллельных и совпадающих прямых

Рассмотрим пример:

Пример 1:

, ,

Построим графики данных функций. У каждой из них. У первой, у второй, у третьей. Напомним, что параметры и определяются из стандартного вида линейного уравнения, параметр – это ордината точки пересечения прямой с осью Кроме того, отметим, что коэффициент отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси кроме того, если он положительный, то функция будет возрастать, а если отрицательный – убывать. Коэффициент называется угловым коэффициентом.

Составим таблицы для построения графиков:

Таблица для первой функции

Таблица для второй функции

Таблица для третьей функции

Очевидно, что все построенные прямые параллельны, потому что их угловые коэффициенты одинаковы. Функции отличаются только значением

Сделаем вывод. Пусть заданы две произвольные линейные функции:

 и .

Если , но , то заданные прямые параллельны.

Если, и , то заданные прямые совпадают.

Изучение взаимного расположения графиков линейных функций и свойств их параметров является основой для изучения систем линейных уравнений. Мы должны запомнить, что если прямые параллельны, то система не будет иметь решений, а если прямые совпадают – то система будет иметь бесчисленное множество решений.

Рассмотрение примера на свойства параметров функции

Рассмотрим задачи.

Пример 2 – определить знаки параметров и по заданному графику функции:

Прямая пересекает ось в положительном её луче, значит имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси острый, функция возрастает, значит знак также плюс.

Прямая пересекает ось в положительном её луче, значит имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси тупой, функция убывает, значит знак минус.

Прямая пересекает ось в отрицательном её луче, значит имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси острый, функция возрастает, значит знак плюс.

Прямая пересекает ось в отрицательном её луче, значит имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси тупой, функция убывает, значит знак также минус.

Рассмотрение случая пересекающихся прямых

Рассмотрим случай, когда угловые коэффициенты не равны. Рассмотрим пример:

Пример 3 – найти графически точку пересечения прямых:

Обе функции имеют график – прямую линию.

Угловой коэффициент первой функции , второй функции , , значит прямые не параллельны и не совпадают, значит имеют точку пересечения, причём единственную.

Составим таблицы для построения графиков:

Таблица для первой функции

Таблица для второй функции

Очевидно, что прямые пересекаются в точке ()

Проверим результат, подставив полученные координаты в каждую функцию:

Подведение итогов

Подведём итог. Заданы прямые:

и 

Если, но  , то заданные прямые параллельны.

Если и , то заданные прямые совпадают.

Если  при любых значениях заданные прямые имеют единственную точку пересечения.

Вывод: в данном уроке мы вспомнили теоретические положения относительно линейных функций и свойства их коэффициентов. Мы рассмотрели различные варианты взаимного расположения графиков линейных функций и решили несколько типовых задач.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Функции и графики.

Проверь себя

1. Задание 1: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 1022, ст.223;

2. Задание 2: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 1011, ст.221;

3. Задание 3: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7, № 1018, ст.222;