04. Задачи на сложение и вычитание одночленов

В данном уроке мы вспомним основные определения, касающиеся одночленов, правила приведения к стандартному виду, сложения и вычитания одночленов. Также мы освежим технику сложения и вычитания дробей. Мы научимся решать типовые задачи на сложение и вычитание одночленов, а именно задачу упрощения, уравнения, текстовые задачи.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений». 

Напоминание: в данной главе мы изучаем одночлены и арифметические операции над одночленами. Мы уже выяснили, что одночлены можно приводить к стандартному виду и среди одночленов стандартного вида можно выделить подобные и не подобные. Подобными называются одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть. Подобные одночлены можно складывать и вычитать и в прошлом уроке мы сформулировали правило для сложения и вычитания подобных одночленов. Правило гласит: при сложении или вычитании подобных одночленов нужно сложить или вычесть только коэффициенты, а буквенную часть переписать без изменений. На основании вышесказанного мы теперь можем решать различные типы задач.

Пример 1: . Tребуется выяснить, можно ли над данными одночленами выполнять операции сложения и вычитания и, если можно, выполнить заданные преобразования.

Очевидно, что все три одночлена подобны, это легко определить так: мы видим, что в каждом одночлене есть и в каждом в первой степени; во всех одночленах есть и везде в первой степени; во всех одночленах есть и везде в квадрате. Это визуальный способ определения подобности. Есть ещё другой способ: нужно заменить в одном одночлене буквенную часть, например, переменной и если во всех остальных одночленах мы можем заменить буквенную часть той же самой переменной, то одночлены подобны. И поскольку мы определили, что три заданных одночлена подобны, мы имеем право выполнить сложение:

.

Теперь рассмотрим задачи на упрощение:

Пример 1: .

В отличие от предыдущего примера, чтобы в данном случае установить факт подобности одночленов, необходимо сначала привести их к стандартному виду:

;

;

.

Перепишем заданное выражение с учётом выполненных преобразований:

.

Используя один из методов, описанных в предыдущем примере, легко установить, что эти одночлены подобны, а значит, имеем полное право их сложить:

Для того, чтобы сложить дроби, нужно вспомнить, что их требуется привести к общему знаменателю и только потом складывать.

.

Пример 2:

Пример выполняется аналогично предыдущему: сначала приводим все одночлены к стандартному виду, далее выясняем, подобны ли они, и, убедившись в этом, выполняем сложение согласно правилу, учитывая особенности работы с дробями.

Рассмотрим следующий вид задач, а именно решение уравнений.

Пример 1: .

В левой части мы видим сумму подобных одночленов, упростим её:

.

Перепишем уравнение:

.

Разделим обе части на :

.

Ответ: .

Пример 2: .

Мы снова видим в левой части сумму подобных одночленов, выполним сложение:

; ; .

Ответ: .

Пример 3: .

Аналогично предыдущим примерам выполним действия:

; ; ; ; .

Ответ: .

Рассмотрим ещё один тип задач – текстовые задачи.

Пример 1: сумма двух третей неизвестного числа и его половины на семь больше самого числа. Найти это число.

Воспользуемся методом математического моделирования.

1 этап – составление модели: примем неизвестное число за

Тогда имеем: ; .

Далее речь идёт о сумме двух третей и половины. Запишем:

;

.

2 этап – работа с моделью:

В данном случае работа заключается в решении уравнения, у которого в левой части стоят три подобных одночлена, значит, имеем право сразу их сложить согласно правилу:

; ; ; .

3 этап – ответ на вопрос задачи:

Поскольку в данной задаче спрашивалось, какое число удовлетворяет заданному соотношению, а за это число мы взяли , то ответ в задаче – число .

Ответ: .

Вывод: в данном уроке мы закрепили навыки работы с одночленами, а именно операции сложения и вычитания одночленов, путем решения различных типовых задач.

Рекомендованная литература

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Проверь себя

Задание 1: упростить выражение:

а) ;

б)  ;

в) ;

г) .

Задание 2: решить уравнение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .