02. Формулы корней квадратных уравнений

Метод выделения полного квадрата на примере решения квадратного уравнения

Напомним, что квадратным уравнением называется уравнение вида: , причем .

На прошлом уроке мы рассмотрели неполные квадратные уравнения и методы их решения. Сейчас мы поговорим о полных квадратных уравнениях, то есть уравнениях, в которых ни один из коэффициентов не равен 0 (,,).

Основной метод, который используется для выведения формул корней квадратных уравнений, – метод выделения полного квадрата. Мы уже изучали его в 7 классе, однако необходимо вспомнить его более подробно.

Рассмотрим несколько конкретных примеров квадратных уравнений, которые мы решим с помощью использования этого метода.

Пример 1

Решить квадратное уравнение: .

Решение:

Коэффициенты данного квадратного уравнения: ,,.

Для применения метода выделения полного квадрата воспользуемся следующей формулой: .

Метод выделения полного квадрата для данного примера состоит в том, чтобы подобрать число  так, чтобы . Значит,.

Получаем:

Данное уравнение можно решать двумя способами.

Способ 1

. Отсюда или: , или: .

Ответ: ;.

Способ 2

. Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен 0. Поэтому данное уравнение эквивалентно двум:  и: .

Ответ: ;.

Более сложный случай использования метода выделения полного квадрата

Мы рассмотрели метод выделения полного квадрата на частном примере. Давайте рассмотрим еще один, чуть более сложный пример, в котором старший коэффициент не будет равняться 1.

Пример 2

Решить квадратное уравнение: .

Решение:

Коэффициенты данного квадратного уравнения: ,,.

Прежде чем выделять полный квадрат, вынесем 2 за скобки в первых двух слагаемых:

.

Теперь в скобках выделим полный квадрат. Опять же, необходимо подобрать  так, чтобы:

.

Получаем следующее уравнение:

Отсюда: .

Отсюда:  или .

Ответ: ;.

Вывод формулы корней квадратного уравнения

 Разобрав конкретные примеры, можем перейти к получению общей формулы корней квадратного уравнения.

Итак, рассмотрим уравнение . Вынесем старший коэффициент за скобки в первых двух слагаемых: . Теперь выделим в скобочках полный квадрат:

.

Далее:

.

Теперь поделим обе части уравнения на , так как знаем, что в квадратном уравнении :

.

Выражение  называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой .

Пока мы будем считать, что в нашем уравнении , то есть из него можно извлечь корень.

Тогда получаем: . Или:

.

Это и есть формула для корней квадратного уравнения в общем виде.

Если расписать ее, то можно получить две формулы для каждого из корней:

Если теперь мы вернемся к нашим примерам, то в уравнении  дискриминант равен: . Тогда:

Применение полученных формул, выводы

На этом уроке мы вспомнили метод выделения полного квадрата, разобрали решение конкретных квадратных уравнений с помощью этого метода. Кроме того, мы вывели формулу корней квадратного уравнения и узнали, что такое дискриминант.

На следующем уроке мы рассмотрим применение формул корней квадратных уравнений.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

2. Прикладная математика (Источник).

Домашнее задание

1. № 427-429, Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение. 2010 г.

2. Решите уравнения: а) , б) , в) , г) .

3. Решите уравнения: а) , б) , в) .