08. Функция y = ax² + bx + c, её свойства и график

Функция у = ах² + bx +c

Функция

Определения

Многочлен , где ,,– числа (коэффициенты, ) называется квадратным трёхчленом.

– старший член

– старший коэффициент

Функцию , где , называют квадратичной функцией.,, определяют конкретную квадратичную функцию. Например,

Уравнение  называют квадратным, если .

Задача этого урока – изучение квадратичной функции , где .

До этого урока был изучен частный случай квадратичной функции, а именно , где , и (рис.1).

Вершина данной параболы расположена в точке , а коэффициент  и  в первом случае (); и  во втором случае ().

Чтобы перейти к общему случаю, нам следует усложнить частный случай .

Например, возьмем функцию . Если мы её усложним до , то получим полноценную квадратичную функцию: , где ,,(рис.2).

Возьмем другой пример: , где ,, (рис.3).

Вершина данного графика будет находиться в точке . Отсюда следует вывод, что графики , и  имеют один и тот же шаблон (параболу ), но с разным расположением вершины.

Метод выделения полного квадрата

Шаблон кривой  есть парабола (рис.4).

Доказательство основано на методе выделения полного квадрата.

Формула

Примеры

Пример (рис.5)

Вывод подтвердился: шаблоном графика функции  есть парабола .

Метод выделения полного квадрата. Общий случай

Сначала выносим «а» за скобки:

Теперь выделим удвоенное произведение и второе число:

Затем выделим полный квадрат:

Приведем к общему знаменателю  и :

Функция имеет вид:

Парабола  является шаблоном кривой .

График функции у = ах² + bx +c

Чтобы построить график функции , необходимо:

1. Построить параболу

2. Выполнить параллельный перенос параболы  так, чтобы её вершина  совместилась с точкой .

– ось параболы

Свойства функции  аналогичны свойствам функции .

Задачи

Задача 1. Построить и прочесть график функции

Решение:

1. Найти координаты вершины.

2. Построить несколько точек (или использовать шаблон)

3. Получить искомую кривую (рис.6)

Функция убывает, если . Функция возрастает, если .

Задача 2. Перечислить основные свойства

Решение:

Используем свойства

2. – не существует

3.  при ;  при

4. непрерывна

5. выпукла вниз

Задача 3.Найти все значения параметра а, при каждом из которых  имеет хотя бы одно решение.

Решение:

2. строим график функции (рис.7)

Ответ: .

Объяснение к данному ответу:

По смыслу множества значений : значения функции из , и только они, достигаются хотя бы при одном значении  из ОДЗ.

Задача 4. Определите знаки ,, функции  по её графику (рис.8)

Решение:

2.  (ветви направлены вверх)

3.  (так как )

Ответ: ;;.

Задача 5. Дано: ;. Найти: ,,.

Решение:

3. строим график (рис.9)

Ответ: ,,.

Вывод

Итак, мы рассмотрели квадратичную функцию , где . Выяснили, что шаблоном для ее графика является парабола .

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

1. № 22.11, 22.16, 22.19 стр. 140–141. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «fgraphiks.narod.ru» (Источник).