01. Функция y = k · x², её свойства и график

Свойства функции

График  мы строили по точкам. Выглядел он так (см. рис. 1):

Обратите внимание, что значение функции в любой точке у нас неотрицательно – это логично, т. к. при возведении в квадрат не может получиться отрицательное число, а значит, все, что под осью , нашему графику принадлежать не может.

Обратим также внимание и на то, что этот график симметричен относительно оси ординат. Есть специальное название для таких функций: они называются четными. Четные функции имеют график, симметричный относительно , а связано это с тем, что , как и для нашей функции.

Заметим также, что до  наш график убывает, а после – возрастает (см. рис. 2).

Соответственно, чем больше  (при ), тем больше  и чем больше  (при ), тем больше .

Свойства функции при

Теперь попробуем поменять , пока будем брать его только положительным.

Например, возьмем  и . Если строить графики по точкам, то можно увидеть, что при  (см. рис. 3).

Хоть мы и привели всего три примера, но уже можно сделать некоторые выводы относительно функции , при . Во-первых, график такой функции лежит в верхней полуплоскости. И это логично: если квадрат числа (неотрицательное число) умножить на положительное число, то результат будет неотрицателен.

Свойство 1. Множество значений функции  при – все неотрицательные числа ( ).

Далее отметим, что при подстановке  в данную функцию мы все равно получим . Поэтому можем сформулировать еще одно свойство.

Свойство 2. График  при  симметричен относительно оси  (см. рис. 4).

Такие функции называются четными.

Подробнее о свойствах функций

Итак, мы с вами говорим о некоторой функции . Выделим несколько ее свойств.

1. Четность. Говорят, что функция четна, если для любого  из ее области определения . Например,;;;;– четные функции.

График четной функции всегда симметричен относительно оси ординат (см. рис. 5).

Аналогично функция называется нечетной, если для любого  из ее области определения . В частности, ;– нечетные функции. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Монотонность. Говорят, что функция возрастает (строго) на некотором промежутке, если для любых . Если же для всех таких ,:, функция убывает на данном промежутке.

Например. . Тогда, если , то  (т.к. ). Значит, функция возрастает при положительных . Аналогично доказывается, что она убывает при отрицательных .

По графикам и по уравнению функции видно, что ее наименьшее значение достигается в нуле и равно оно нулю (действительно, квадрат любого другого числа строго положителен). Наибольшего значения нет: чем больше мы возьмем по модулю , тем больше получится .

Свойство 3. График  при  возрастает при положительных  и убывает при отрицательных (см. рис. 6).

Преобразование графика функции при изменении

Что произойдет с графиком, если мы увеличим число ? Если строить по точкам, то при увеличении , например, в два раза, ордината точки с одной и той же абсциссой увеличится в эти же два раза. То есть, по идее, график должен стать уже. И наоборот, при уменьшении  (оставляя его положительным) – шире (см. рис. 3). Эту гипотезу можно проверить наглядно (см. рис. 7 и рис. 8).

Таким образом, помня это свойство, всегда можно построить график функции  в зависимости от , сузив или расширив график функции .

Задача ()

Какое наибольшее и какое наименьшее значение принимает функция на отрезке? (См. рис. 9.)

Решение

С наименьшим значением все понятно: по графику (и по свойству) видно, что наименьшее значение . А что с наибольшим? Можно заметить, что чем дальше абсцисса от нуля, тем больше значение функции. Это и логично: значение функции тем больше, чем больше модуль абсциссы. Значит, наибольшее значение достигается в точке , и равно оно .

Ответ: ,.

Свойства функции при

Теперь обратимся к отрицательным . Можно функцию  при  нарисовать по точкам. А можно взять, например, график , который мы уже умеем строить, а затем домножить каждое значение на . Как построить график? Домножение на  меняет знак ординаты, значит, по сути, мы просто зеркально отражаем график относительно оси абсцисс (см. рис. 10).

1. Свойство 1. Множество значений функции  при – все неположительные числа () (см. рис. 11).

График функции находится в нижней полуплоскости.

2. Свойство 2. График  при  симметричен относительно оси – функция четная ().

3. Свойство 3. График  при  возрастает при отрицательных  и убывает при положительных (см. рис. 12).

4. Преобразования графика функции  при : при уменьшении  график сужается, при увеличении – расширяется (см. рис. 13).

Задача ()

При каком значении  график функции  проходит через точку ? Изобразите этот график.

Решение 

Подставим координаты точки в уравнение. Получим: ;.

Теперь строим график  (см. рис. 14).

По графику можно проверить себя – график проходит через точку .

Обратите внимание, что отрицательность числа  была очевидна сразу: раз наша функция принимает отрицательное значение хотя бы в одной точке, то  должно быть отрицательным.

Ответ: .

Уравнение

Решить уравнение: .

Решение

Решим данное уравнение графически, построив графики левой и правой частей уравнения (см. рис. 15):

По графику видно, что данное уравнение имеет два решения:  и . Обратите внимание, что если корень  легко увидеть по графику, то  уже сложнее – это нецелое число. Поэтому обычно в таких случаях выдвигается гипотеза, что – корень, а дальше выполняется проверка путем подстановки.

Ответ: ;.

Заключение

На этом уроке мы выяснили, как выглядит график функции , как он меняется с изменением . Узнали, какими свойствами обладает этот график:

1. Область значений:  при , при .

2. Четность (график симметричен относительно оси ).

3. Монотонность: при  возрастает при отрицательных  и убывает при положительных; при  возрастает при положительных  и убывает при отрицательных.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. Алгебра 8 класс. С углубленным изучением математики – 9-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2010.

2. Алимов Ш.А. Алгебра 8 класс – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2012.

3. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра 8 класс Рабочая тетрадь – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Домашнее задание

1. Найдите коэффициент  в уравнении параболы  , зная, что парабола проходит через точку .

2. Проходит ли график функции  через точку ?

3. Найдите корни уравнения . (Решите графическим методом.)