03. Функция y = √x

Решение элементарных задач

Для начала вспомним, откуда взялся знак корня и зачем он был придуман.  Для этого мы решим несколько простейших уравнений.

Задача №1

Решим данное уравнение двумя способами .

Способ I. Аналитический

В данном решении у нас не возникла необходимость во введении каких-либо новых слов или символов.

Способ II. Графический

Для решения графическим способом мы строим графики функций

Исходя из графика мы видим, что графики функций пересекаются в точках с аргументами 2 и -2.

Задача №2

Способ I. Аналитический

В данном решении у нас не возникла необходимость во введении каких-либо новых слов или символов.

Способ II. Графический

И в данном примере у нас не возникла необходимость во введении каких-либо новых слов или символов.

Задача №3

Способ I. Аналитический

Схема решения остаётся той же, переносим всё из правой части в левую:

Однако понятно, что мы пока не знаем, что же это за число, которое при возведении в квадрат даёт 5.

Поэтому решим пример вторым способом – графическим

Способ II. Графический

Благодаря графику мы видим, что корни всё же существуют, осталось только понять, как же их назвать. Именно для таких чисел и возникло понятие корня, который начали обозначать таким значком: , в нашем случае это будет:  и .

Получается, что – это число, которое существует, и такое, что его квадрат равен подкоренному выражению, т. е. .

Объяснение понятия арифметического квадратного корня и его графика

Теперь вернёмся к нашему аналитическому решению примера и поставим там вместо пропуска .

Если мы всё сделали правильно, то и аналитический, и графический способы решения дадут нам один и тот же ответ.

Теперь давайте введём новый термин: квадратным корнем из 5 () называется такое число, квадрат которого равен 5.

В нашем примере мы получили два корня – один положительный, другой отрицательный. Положительный корень называется арифметическим корнем, а отрицательный – корнем, противоположным арифметическому.

Теперь дадим чёткое определение: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа  называется такое число, квадрат которого равен .

,

Если

Теперь давайте построим график функции . Мы с вами понимаем, что для этого должны выполняться условия: ,.

Построение графика

ОДЗ:

Мы видим, что это похоже на часть параболы , только расположенной вдоль оси .

Итак, мы построили график, теперь свойства этой функции:

1. ОДЗ:

2. , т. е. функция меняется в пределах

Рассмотрим пару примеров на понимание ОДЗ (1) и области определения функции (2).

А)  не существует, т. к. ОДЗ должно быть , а это не так.

Б) – нет решений, поскольку должно быть: 

3.   (монотонно возрастает) при всех допустимых , это означает, что если , то  для любых  и .

Посмотрим на график: пусть , а , видим, что . Посмотрим теперь на значение функции в этих точках: ,, т. е. мы видим, что , т. е. .

4.  непрерывна, для нас это значит, что график функции можно провести, не отрывая руку от листа бумаги, т. е. никаких разрывов в данной функции нет.

5. Функция выпукла вверх

Решение типовых задач

Теперь рассмотрим типовые задачи – преобразовния графика этой функции.

Строить график будем в таком порядке:

 Для начала, определим ОДЗ:

Чтобы не ошибиться, в какую сторону двигать график в действии (2), нужно посмотреть в итоговую функцию и ОДЗ, которое нам говорит, что , т. е. график нужно двигать вправо.

Теперь давайте изучим нашу функцию

1. ОДЗ:

2. Область определения функции:

Т. е.  , а наибольшего  не существует.

Таким образом, мы рассмотрели график функции , выяснили, что эта функция определена только для неотрицательных .

Выводы

Итак, на данном уроке мы с вами вспомнили, что такое арифметический корень и его свойства, а также построили график этой функции и рассмотрели его свойства. Также мы увидели, что график данной функции подчиняется тем же правилам переносов и действий с графиком, что и графики других функций. 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник). 

Домашнее задание

1. Постройте графики функций: а) ; б) ; в) .

2. Постройте график функции и исследуйте её .

3. Какие функции изображены на графиках?

А)

Б) 

В)