03. Функция y = k/х, её свойства и график (продолжение)

Повторение

График функции  является гиперболой, ветви которой лежат в первом и третьем координатных углах при  и во втором и четвертом координатных углах при  (см. Рис. 1).

Задача 1

Выясните взаимное расположение кривых  и .

Решение

Составим таблицу значений для двух данных функций.

Из таблицы видно, что все ординаты функции  в два раза больше ординат функции  при одинаковых значениях . Изобразим графики данных функций на координатной плоскости (см. Рис. 2).

Следовательно, график функции  получается из графика функции  путем растяжения ветвей гиперболы относительно оси .

Задача 2

Найти множество значений функции  при . Найти ее наименьшее и наибольшее значение.

Решение

Для наглядности нарисуем график функции  (см. Рис. 3). Область определения функции  при  выделена на рисунке 3 красным цветом.

Функции  при  убывает от  до 0. Видно, что при  функция равна 9 (см. Рис. 4), проверим это, подставив в выражение  значение аргумента :

Видно, что при  функция равна 1 (см. Рис. 4), проверим это, подставив в выражение  значение аргумента :

Следовательно, множество значений функции  при – это отрезок ; наименьшее значение равно 1, оно достигается при ; наибольшее значение равно 9, оно достигается при .

Ответ: ; наименьшее: ; наибольшее: .

Задача 3

Решить графически систему:

Решение

Построим графики данных функций. График функции – это гипербола, а график функции – это прямая (см. Рис. 5).

На рисунке видно, что графики этих функций пересекаются в двух точках, следовательно, система имеет 2 решения (больше решений быть не может, так как при  и : функция  убывает, а функция  возрастает).

Определим координаты точек пересечения: ;.

Можно проверить найденные значения, подставив их в систему уравнений:

При ;:

– верно;

При ;:

– верно.

Ответ: ;.

Задача 4

Найти число решений системы:

Решение

Построим графики данных функций. График функции – это гипербола, а график функции – это прямая (см. Рис. 6). На рисунке видно, что графики этих функций пересекаются в двух точках, следовательно, система имеет 2 решения.

Ответ: 2 решения.

Задача 5

Решить графически уравнение: . Найти точки пересечения графиков функций: ,.

Решение

1. Построим график функции – гиперболу, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных углах (см. Рис. 7).

2. Построим график линейной функции . Это прямая, ее можно построить по двум точкам  и (см. Рис. 7).

3. На рисунке видно, что прямая и гипербола пересекаются в точках  и .

4. Выполним проверку, подставив в уравнение  значения  в точках  и .

При :

При :

Следовательно, уравнение имеет 2 корня: ;.

Ответ: ;. ;.

Задача 6

Решить графически систему уравнений:

Решение

1. При :

– решений нет.

При :

– решения существуют.

Следовательно, на луче  решений данной системы уравнений нет. Решения следует искать при .

2. Построим графики данных функций: – гипербола; – парабола (см. Рис. 8).

3. Видно, что графики данных функция пересекаются в точке (при  функция  возрастает, а функция  убывает, значит, решение единственное).

4. Можно проверить найденное значение, подставив его в систему уравнений:

 ;:

– верно.

Ответ: .

Задача 7

Дано:

Требуется:

1. Построить график функции.

2. Найти: ;;; множество значений функции.

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции.

4. Прочесть график.

Решение (ответ)

1. Нарисуем часть параболы  на отрезке и часть гиперболы  на луче (см. Рис. 9).

2. Найдем . Так как в этом случае , то подставляем  в уравнение :

Найдем . Так как в этом случае , то подставляем  в уравнение :

Найдем . Так как в этом случае , то подставляем  в уравнение :

Множество значений этой функции – это отрезок .

3. Наибольшее значение функции достигается при , оно равно:

Наименьшее значение функции достигается при , оно равно:

4. Функция убывает от  до  на промежутке , функция возрастает от  до  на промежутке , функция убывает от  до  на промежутке .

Список литературы

1. Баш­ма­ков М.И. Ал­геб­ра 8 класс. – М.: Про­све­ще­ние, 2004.

2. До­ро­фе­ев Г.В., Су­во­ро­ва С.Б., Бу­ни­мо­вич Е.А. и др. Ал­геб­ра 8. 5 из­да­ние. М.: Про­све­ще­ние, 2010.

3. Ни­коль­ский С.М., По­та­пов М.А., Ре­шет­ни­ков Н.Н., Шев­кин А.В. Ал­геб­ра 8 класс. Учеб­ник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Про­све­ще­ние, 2006.

4. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учеб­ник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Мнемозина, 2010.

5. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Мнемозина, 2010.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urokimatematiki.ru» (Источник).

2. YouTube (Источник).

Домашнее задание

1. Упражнения 18.13 (а, г), 18.15, 18.17 (б, в), 18.27 (стр. 111–113) Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник. 

2. Найдите на оси ординат какую-либо точку , такую, что отрезок , где , имел бы с графиком функции  две общие точки.

3. Решите систему уравнений: