09. Графическое решение квадратных уравнений

На этом уроке мы рассмотрим тему «Графическое решение квадратных уравнений»

Уравнение вида , где называется квадратным. Если же , то у нас будет линейное уравнение, а на данном уроке мы их не рассматриваем.

Функция , где называется квадратичной функцией. Графиком этой функции является парабола. Если , то ветви данной параболы направлены вверх. Если же , то ветви параболы направлены вниз. Шаблоном для данной параболы является парабола .

Координаты вершины:

Единственный метод, которым сейчас можем решить квадратное уравнение, – это графический метод, который и рассмотрим в следующем примере.

Решить уравнение .

Решение:

Построим график функции .

Шаблоном является график функции .

Получаем график рис. 1:

Итак, мы построили график функции . Для того чтобы построить график функции , надо сдвинуть вершину графика. Чтобы понять, куда её сдвинуть, есть 2 способа:

1й способ. Вычислим , а потом  (; ; )

Так как мы знаем теперь координаты вершины параболы , то теперь помещаем вершину туда и получаем график искомой параболы (которая будет пересекаться с осью точках () и () рис. 2.

Корнями же уравнения будет точки пересечения с осью .

Проверим: тогда ,  ( – корень данного уравнения)

 тогда , ( – корень данного уравнения)

Ответ:  и . 

Известно, что любая прямая (включая и ось ) рассекает параболу в 2-х точках. Эти точки мы и предъявили, значит, задача решена правильно.

2-й способ. Он заключается в выделении полного квадрата.

Чтобы учесть , нужно сдвинуть исходную параболу на единицу влево, а для учёта нам надо сдвинуть параболу на единицы вниз. И мы получим график исходной функции. Далее мы выполняем действия, упомянутые в 1м способе. Ответ также будет  и .

Рассмотрим иной способ решения того же уравнения:

Решить уравнение

Строим графики функций  и .

Как построить график функции , уже известно (его шаблоном будет парабола).

А график функции  строим с помощью таблицы:

Тогда рисуем графики рис. 3:

Аккуратный чертёж показывает, что графики функций пересекаются в точках с абсциссами и . При проверке мы подтверждаем, что решением являются  и .

Ответ: и .

Преимущество данного способа в том, мы строили самую простую из всех возможных парабол. Однако нам пришлось также строить график линейной функции, но он строится несложно. Затем получили точки пересечения, определили абсциссы, которые надо проверить.

Рассмотрим уравнение в общем виде , где .

Для решения данного уравнения необходимо:

1-й способ (построить график всей функции)

а) Надо построить параболу функции , используя шаблон .

б) Найти точки пересечения с осью и взять их абсциссы (; ) рис. 4.

в) Осуществить проверку взятых абсцисс методом подставления их в уравнение и выписать ответ.

2-й способ (уединить член с )

а) Видоизменить уравнение за счет уединения : .

б) Построить параболу  и прямую рис. 5.

в) Найти абсциссы точек пересечения графиков (; ) .

г) Осуществить проверку взятых абсцисс методом подставления их в уравнение и выписать ответ (; ) .

Замечания:

а) , так как уравнение можно умножить на почленно;

б) прямая пересекает параболу не более чем в 2-х точках.

Из положительных моментов стоит отметить, что графический метод позволяет решить такие уравнения, которые мы не можем решить аналитически.

Среди недостатков выделяют то, что надо считывать, почти угадывать абсциссы (приближенность метода – его минус).

Список литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Проверь себя

1. № 23.4, 23.7, 23.8 стр. 145. Мордкович А. Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «fxyz.ru».

2. Интернет-портал «urok.1sept.ru».

3. Интернет-портал «unimath.ru».