05. Иррациональные числа

На этом уроке мы рассмотрим тему «Иррациональные числа».

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Часть 3. Иррациональные числа. Выводы»

В повседневной жизни мы постоянно встречаемся с окружностью, кругом, квадратом. Но и длина окружности, и площадь круга, и диагональ единичного квадрата выражается иррациональными числами. Иррациональные числа и есть предмет этого урока.

Конечно, и раньше мы встречались с числом (через него выражается площадь круга и длина окружности), числом . Но вряд ли мы их представляли как элементы множества иррациональных чисел, это множество пока нам неизвестно. А какие множества нам известны? Давайте вспомним.

1. N – натуральные числа (числа для счета предметов окружающего мира)  

N =

2. Z – целые числа (натуральные числа, отрицательные, ноль) 

Z =

3. Q – рациональные числа (множество целых чисел + дроби)

Q =

Также не стоит забывать про свойство рациональных чисел, которое гласит, что важной особенностью множества Q рациональных чисел является их замкнутость относительно операций:

• сложения;

• вычитания;

• умножения;

• деления (не на ноль);

• возведения в натуральную степень.

В результате этих операций с рациональными числами мы снова получаем рациональное число.

Однако извлечение корня выводит нас за пределы множества рациональных чисел. Например, , и это рациональное число, так как . Другой пример – .

Но  – это другой случай, так как подобрать число, которое в квадрате даёт , очень сложно. Это число не является рациональным.

Значит, множество рациональных чисел необходимо расширить, ввести нерациональные (т. е. иррациональные) числа.  является как раз именно таким числом.

Но для начала надо обосновать существование необходимости расширения множества рациональных чисел с помощью введения иррациональных чисел.

Рассмотрим функцию , где

График функции (рис. 1):

Это часть параболы. С этой функцией связаны две основные задачи, как и с любой другой функцией, – прямая и обратная. В связи с этим решим 2-я способами несколько простейших уравнений:

Пример 1.

Найдем те значения аргумента, при которых .

Первый способ – аналитический:

Произведение равно 0 тогда, когда один из множителей равен 0, а другой существует, поэтому:

, но по условию .

Ответ: 2.

Второй способ:        

1. Строим функцию  и

2. Находим точку пересечения по графику и проверяем её.

Нашли, проверили и получили тот же ответ – .

Пример 1.

Ответ в первом случае будет . 

При решении графически мы будем следовать инструкции, как и в примере 1. Ответом будет .

Пример 2.

Первый способ:

Но число подобрать сложно. Проверим решение графическим способом.

Второй способ:

Парабола  рассекается прямой . При некотором значении аргумента, который обозначили . Значит, ответ есть. рис. 2.

 – это длина отрезка ОА. Этим же символом обозначают длину диагонали единичного квадрата.

При измерении отрезка ОА линейкой получили:

;

; – точнее;

; ;

Таким образом, мы можем получить , если эталон измельчить в n раз и взять таких m частей. Но этого сделать нельзя, потому что .

Ещё Эвклид доказал, что .

Доказать, что ,

Доказательство:

1. Предположим, что ,

2. Если , то

3. При возведении в квадрат получаем:

4. Можно считать, что  – несократимая дробь, потому что если есть общие делители, то на них можно сократить. Итак, мы предположили, что  – это несократимая дробь . Общих делителей у чисел m и n нет.

Левая часть уравнения делится на , а правая на (каждое из m должно делиться на ). Соответственно, делится на . Тогда и делится на . Так как одна есть, значит, делится или n делится на . m и n делятся на .

5. Мы предположили, что .  – это несократимая дробь, то есть m и n не имеют общих делителей, но выясняется, что при правильности предположения мы имеем противоречие.  – сократимая дробь, значит, среди множества рациональных чисел не найдется дроби, которая точно равняется . Таким образом, , это иррациональное число.

То есть, мы доказали, что число  существует и оно иррациональное.

Мы можем записать множество рациональных чисел как множество несократимых дробей  либо как множество десятичных дробей, конечных или периодических. Например, ; .

Иррациональное число  может быть представлено бесконечной, непериодической десятичной дробью. Записывают же следующим образом:

Существуют различные способы нахождения каждой верной цифры в данном числе (например, вавилонский).                     

Иррациональных чисел много, и их, в некотором смысле, даже больше, чем рациональных чисел. Поясним это так: .

Предположим, что сумм этих чисел – рациональное число, тогда .

Но тогда  – это разность двух рациональных чисел, т. е. число рациональное.

Возникает противоречие, так как  – иррациональное число. Итак, единственному числу  соответствует много иррациональных чисел. Столько, сколько всех рациональных чисел.

Вспомним, что такое число .

Мы доказали существование множества иррациональных чисел

Каждое иррациональное число представляется в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Но для каждого иррационального числа существует рациональное приближение. Приближение можно найти с любой, заранее заданной, точностью. Например, ; ; .

Если мы будем складывать или перемножать иррациональные числа, то можем получать числа. Например,

Другой пример:

Ещё пример:

Подытожим сказанное: существуют числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби . Такие числа назвали иррациональными (нерациональными). Примерами таких чисел являются ; . Множество иррациональных чисел I – бесконечно. Доказано, что между двумя иррациональными числами умещается бесконечно много рациональных чисел. Говорят, что множество рациональных чисел всюду плотно. Любое иррациональное число представляется в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Существуют способы нахождения любой верной цифры такой дроби. Также существуют рациональные приближения иррациональных чисел. Интересна иллюстрация рациональных и иррациональных чисел на координатной прямой (рис. 3).

Мы видели, что появление целых, рациональных и иррациональных чисел во многом связано с обратными операциями: вычитанием, делением, извлечения корня.

Список литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Проверь себя

1. № 11.5, 11.7, 11.9 стр. 62. Мордкович А. Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «ru.wikipedia.org».

2. Интернет-портал «numbers.kalan.cc».