03. Исследование функций на монотонность

Данный урок посвящён теме «Исследование функции на монотонность». Вы узнаете, что такое функция. Будет введено понятие о возрастающей и убывающей функции. На примере линейной функции научитесь определять, возрастает функция либо убывает.

Тема: Неравенства

Урок: Исследование функций на монотонность

Понятие функции

Функцией называют закон соответствия , по которому каждому значению  ставится в соответствие единственное значение y.

– это независимая переменная, или аргумент.

– это зависимая переменная, или функция.

– это закон.

Например: . Если взять , то . Требование к этому закону: однозначность от . Заданному значению соответствует только одно значение .

Рассмотрим графики окружности (рис. 1) и полуокружностей. Являются ли нарисованные графики графиком какой-нибудь функции?

Ответ: график окружности не является, потому что заданному значению аргумента соответствует несколько значений функции.

В графиках полуокружностей заданному значению соответствует единственное значение . Этот график является графиком какой-нибудь функции.

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. рис. 2.

Если , то и .

Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. pис. 3.

Если , то и . Чем больше аргумент, тем меньше функция.

Если функция возрастает или убывает, то говорят, что она на данном участке монотонна.

Пример № 1.

Дано: .

Решение: линейную функцию задают два параметра: k и m. Рассмотрим конкретные примеры:  и .

m – это ордината точки пересечения оси оу.

Построив график этой функции, делаем вывод, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции (pис. 4). Данная функция возрастает от до

Доказательство:

Дано: , где и – любые числа.

Доказать: ;

Решение: ; ;  означает, что их разность больше нуля. Найдём эту разность: . По условию: , Отсюда следует, что . Что и требовалось доказать.

Вывод: На всех областях определения линейная функция возрастает.

Аналогично можно доказать, что  на всех областях монотонно убывает.

В общем случае для , действует такое правило, что если , то функция является монотонно возрастающей, если , то функция является монотонно убывающей.

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Исследование функции на монотонность». Вы узнали, что такое функция. Было введено понятие о возрастающей и убывающей функции. На примере линейной функции вы научились определять, возрастает функция либо убывает.

Список литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Uztest.ru.

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».

Проверь себя

1. Определите, какой является функция:  при 

2. Что такое функция?

3. № 534, 535. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.