05. Как построить график функции у = f(x + t), если известен график функции у = f(x)

В этом уроке вы узнаете, как построить график функции , если известен график функции .

Конкретизируем задачу.

Дано: 

Кривая ; график этой функции нам известен  (действительное число).

Построить: .

Это и есть задача нашего урока. Рассмотрение этой задачи начнём с простейших примеров.

Построить

а) ;

б)

Дано:

(графиком данной функции является парабола (рис. 1).

Решение:

Поясним характер кривых, их взаимное расположение поясним с помощью таблицы.

Строим график функции (рис. 2):

Следует заметить, что кривая а) была получена сдвигом на единицу вправо. Кривая же б) будет получена сдвигом на единицу влево (что можно проверить, поставив полученные в таблице точки на координатную прямую) (рис. 3):

Заметим ещё раз, что если к прибавляется единица, то сдвиг исходной прямой идет влево вдоль оси , а если отнимается – то сдвиг графика идёт вправо.

Вспомнить, когда сдвиг идёт направо, а когда – налево, нам помогает самая характерная точка параболы – вершина параболы.

Значение достигается этими функциями (рис. 4):

при , если у = х2

при х = 1, если у = (х – 1)2

при х = -1, если у = (х + 1)2

Рис. 4. Случаи, когда у = 0

Если у нас , то кривая сдвигается на 1 единицу вправо.

Если у нас , то кривая сдвигается на 1 единицу влево.

Мы рассмотрели конкретный случай с конкретными числами. Но вместо чисел, можно взять любое действительное число; вместо функции можно взять любую функцию. Получим важное правило.

Чтобы получить , надо кривую :

• сдвинуть на  единиц вправо, если ,

• сдвинуть на  единиц влево, если .

 Это правило является центральным, и нам необходимо закрепить его на примерах.

Дано:

Построить:

а)

б)

Решение:

а) Строим график функции  и сдвигаем его на единицу вправо (согласно правилу) (рис. 5):

Эта гипербола не существует в точке  (вертикальная асимптота проходит в точке ).

Точка пересечения с осью - , потому что .

Задача а) решена.

б) Строим график функции  и сдвигаем его на единицу влево (согласно правилу) (рис. 6):

Эта гипербола не существует в точке .

Точка пересечения с осью , потому что .

В построении графика  помогла точка разрыва графика (то есть точка ; вертикальная асимптота проходит в точке , что означает невозможность существования функции в данной точке.).

Обе задачи решены.

Из этой задачи мы можем сделать вывод, что, если правило забыто, то нам может помочь характерная особенность (например, точка разрыва в примере ). Но иногда сдвигать график утомительно, тогда мы поступаем следующим образом:

Дано:

Построить:

а)

Решение:

Можно сдвинуть ось . Кривая тогда останется на месте, однако масштаб по оси придётся изменить. Если сдвигать всю кривую для построения графика функции, то кривую надо сдвинуть на единицу вправо. Но если мы сдвигаем ось , то её надо сдвинуть на единицу влево.

Получим новую ось (рис. 7):

Асимптота проходит в точке , потому что в точке  функции не существует.

Задача решена сдвигом оси . Итак, если затруднительно сдвигать кривую, то можно сдвинуть ось в ту или иную сторону.

Список литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «urokimatematiki.ru».

2. Интернет-портал «urok.1sept.ru».

Проверь себя

1. № 19.11, 19.18, 19.24 стр. 116–120. Мордкович А. Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.