07. Квадратные неравенства повышенной сложности

Методы решения квадратных неравенств

Квадратными называются неравенства вида или.

Методы решения квадратных неравенств, основанных на свойствах квадратичной функции.

1. Чтобы решить, например, неравенство , нужно рассмотреть функцию:

2. Найти корни функции, с целью построить схематический график параболы. Корни в данном случае

3. Рассмотреть схематический график функции

Ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала корней и вне интервала корней функция сохраняет знак. Если старший коэффициент больше нуля, то вне интервала корней функция положительная. Внутри интервала корней функция отрицательная.

4. Решением данного неравенства являются все значения в интервале: .

Границы интервала входят в ответ, т. к. условие допускает равенство трехчлена нулю.

Рассмотрим аналогичное неравенство: . Мы можем построить график функции для данного квадратного трехчлена (Рис. 2):

Интересующие нас значения находятся все на том же интервале

Так, мы видим, что при умножении неравенства на минус единицу ответ не изменяется, и любое неравенство с отрицательным старшим коэффициентом можно преобразовать и получить положительное

Пример №1 (сложные коэффициенты)

Решить неравенство:

Один из корней явно угадывается, потому что получаем верное числовое решение

Поскольку один корень уравнения найден, дискриминант его больше либо равен нулю.

Второй корень находим по теореме Виета. Произведение и сумма корней легко выражаются через коэффициенты.

Находим второй корень:

Строим схематический график параболы (Рис. 3):

Ветви параболы направлены вверх, проходят через точки и .

Вне интервала корней функция положительна, внутри интервала корней функция отрицательна. Нам нужны те значения, при которых функция отрицательна. Это 

Ответ:

.

Какие могут быть сопутствующие задачи для такого вида неравенств?

Допустим: найти целочисленные решения для данного неравенства.

находится левее, затем, ане входит в ответ, значит, целочисленное решение:

Пример №2 (замена переменных)

Решить неравенство:

Обозначимза новую переменную;

Тогда неравенство превращается в следующее квадратное неравенство

Решение:

Рассматриваем функцию:

Находим корни, используя обратную теорему Виета.

Схематически рисуем график функции(Рис. 4).

Ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала корней и вне интервала корней функция сохраняет знак. Если старший коэффициент больше нуля, то вне интервала корней функция положительная. Внутри интервала корней функция отрицательная.

Решение неравенства: , ноТак, получаем

Переходим к старой переменной.

Переходим к системе:

Первое неравенство системы выполняется всегда.

Рассматриваем график функции:(Рис. 5).

Корни:

График очевиден. Ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала корней все значения отрицательные.

Решение неравенства:

Пример №3

Решить неравенство:

Обозначимза новую переменную;Тогда неравенство превращается в следующее квадратное неравенство

Решение:

1. Рассматриваем функцию:

2. Находим корни, используя обратную теорему Виета.

3. Схематически рисуем график функции(Рис. 6).

Ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала корней и вне интервала корней функция сохраняет знак. Если старший коэффициент больше нуля, то вне интервала корней функция положительная. Внутри интервала корней функция отрицательная.

4. Решение неравенства: илино

5. Переходим к старой переменной. или

6. Переходим к системе:; первое неравенство не имеет решений.

7. Рассматриваем график функции: (рисунок 53.5). Корни:

8. График очевиден. Ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала корней все значения отрицательные, вне интервала – положительные.

9. Решение неравенства: или

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Квадратные неравенства повышенной сложности». Вы вспомнили свойства квадратичных функций, на основании которых решаются квадратные неравенства любой сложности. К квадратичной функции сводятся любые неравенства, несмотря на их сложность.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Uztest.ru (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

Домашнее задание

1. Решить неравенство:

2. Какие квадратные неравенства относятся к неравенствам повышенной сложности?

3. №555, 557. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.