14. Квадратные уравнения. Повторение теории. Типовые задачи

Название темы

Вспомним стандартный вид квадратного уравнения: , где . В левой части у нас стоит квадратный трёхчлен.

1.а. Первое, что нам необходимо вспомнить, – это формула корней квадратного уравнения: , при этом помним, что выражение и называется дискриминантом квадратного уравнения. Причём если , то исходное квадратное уравнение имеет 2 различных корня

Если , то говорим, что уравнение имеет 2 одинаковых корня

Если , то уравнение не имеет действительных корней.

1.б. Если коэффициент , т. е. является чётным числом, то мы можем пользоваться упрощёнными формулами следующего вида:  .

Повторение теории

2.а. Далее вспомним теорему Виета: Если и – корни квадратного уравнения и его , то 

2.б. Теорема, обратная к теореме Виета: Если мы не знаем, какого вида имеем уравнение, но знаем, чтои его , то можем утверждать, что и – корни исходного квадратного уравнения.

3.а. Если в заданном уравнении , то имеет место разложение трёхчлена на линейные множители .

3.б. Если , то , а квадратный трёхчлен раскладывается в полный квадрат.

Повторение решения типовых задач

Итак, мы с вами повторили основные формулы данной темы и теперь перейдём к повторению решения типовых задач по данной теме.

Задача №1

Решите квадратное уравнение .

Решение

Сначала необходимо привести данное уравнение к стандартному виду, для этого мы возведём выражение в левой части в квадрат,  перенесём все данные из правой части уравнения в левую и приведем подобные слагаемые.

Для дальнейшего решения мы можем просто воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения либо обратной теоремой Виета. Мы воспользуемся обратной теоремой Виета.

Далее простым подбором находим корни заданного уравнения:

Таким образом, воспользовавшись обратной теоремой Виета, мы нашли корни заданного квадратного уравнения, не используя стандартные формулы. (Совет: даже решая квадратные уравнения с помощью стандартных формул, всегда проверяйте себя через теорему Виета).

Ответ:

Задача №2

Решите квадратное уравнение .

Решение

Поскольку второй коэффициент b в нашем случае равен 4, то мы можем воспользоваться формулой  из п 1.б., которая говорит, что если , т. е. является чётным числом, то  , т.е.

Ответ:

Задача №3

Решите уравнение с помощью теоремы Виета (не вычисляя и отдельно) и найдите

Решение

Мы видим, что , а , т. е. у данного квадратного уравнения есть два корня, т. е. мы можем использовать теорему Виета:

Далее рассмотрим каждую задачу отдельно:

1. Выделим полный квадрат для первой задачи:

Мы имеем , т. е. для полного квадрата нам не хватает , добавим их и получим: , однако поскольку в исходном выражении не было , то его необходимо также отнять от полученного выражения, т. е. , тогда получаем следующее выражение .

Мы видим, что сумму и произведение корней мы знаем, благодаря теореме Виета. Подставим эти значения в получившееся выражение:

Т. е. мы получили, что .

2. Снова используем метод выделения полного квадрата, т. е. формулу сокращённого умножения «Сумма кубов»

Поскольку мы знаем, что , а , то заменим этими значениями некоторые выражения в нашем примере и получим, что

Далее мы видим , что у нас осталась . Из предыдущего примера мы знаем, что , поэтому подставим все известные значения и запишем ответ:

Т. е. мы получили, что .

3.  Нам необходимо решить пример , для этого сначала приведём его к общему знаменателю: . Мы получили дробь, в которой видим знакомые выражения. Значение числителя нам уже известно из п.2, . В знаменателе же у нас стоит произведение кубов корней , используя свойства степени, мы можем сделать следующее: . В получившемся выражении мы уже знаем произведение корней, которое равно по теореме Виета. Теперь осталось только подставить это значение в наше выражение: . Теперь, зная числитель и знаменатель, совместим их и решим поставленную задачу:

Ответ: .

Теперь нам необходимо вспомнить, когда мы можем использовать теорему Виета. 

Теорему Виета мы можем использовать во всех случаях, когда функция зависит только от суммы и произведения корней, т. е. , где и – корни заданной функции. В свою очередь, это условие будет выполняться, если в данной функции и можно поменять местами без изменения вида функции.

Выводы

На данном уроке мы с вами вспомнили все основные формулы по теме «Квадратные уравнения», а также ещё раз решили типовые задачи, связанные с квадратными уравнениями и повторённой теорией.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Прикладная математика

Проверьте себя

1. Решите квадратные уравнения с помощью дискриминанта:
   а) ;
   б) ;
   в) .

2. Решите квадратные уравнения с помощью теоремы Виета и обратной ей:
   а) ;
   б) ;
   в) .

3. № 503, № 521 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.