08. Квадратные уравнения с параметром

Аналитический способ решения задачи с параметром

Решить задачу с параметром – значит перебрать все значения параметра и для каждого указать ответ. Для квадратных уравнений наличие корней зависит от дискриминанта

Пример №1 – решить уравнение с параметром

Решить уравнение:

I-ый способ.

Считаем, что a – величина постоянная, и находим корни уравнения:

. Корни существуют, если . Решаем это линейное неравенство: . При этих значениях параметра, то есть когда дискриминант положителен или равен нулю, корни есть. Причем, когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет единственный корень. Когда дискриминант отрицателен – корней нет.

Ответ: 1. при любом решений нет; 2. при уравнение имеет единственное решение: ; 3. при любом значении уравнение имеет два различных корня: .

Частные случаи:

Найти значения параметра а, при котором уравнение имеет одно решение.

Ответ: при корни есть, уравнение имеет единственное решение: .

Найти значения параметра а, при котором уравнение не имеет решения.

Ответ: при любом решений нет.

Графический способ решения задачи с параметром

Решим пример №1 графически (II способ):

или

Алгоритм:

1. Построим график функции, стоящей в левой части (Рис. 1).

2. Корнями этой функции является .

3. График этой функции – парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится по формуле: . Подставляем . Вершина параболы .

1. Рассечь построенный график семейством прямых: (Рис. 2).

2. Отметить точки пересечения и выписать ответ. По графику очевиден ответ:

а) при любом решений нет

б) при корни есть, уравнение имеет единственное решение:

в) при любом значении уравнение имеет два различных корня: .

Графический метод позволяет решать некоторые частные задачи, например: при каких значениях параметра уравнение имеет два положительных корня. Из графика очевиден ответ: при  уравнение имеет два различных положительных корня.

или: при каких значениях параметра уравнение имеет два различных корня разного знака. Из графика очевидно: при уравнение имеет два корня разного знака.

Аналогичные частные задачи можно решать и аналитически, для этого следует воспользоваться теоремой Виета.

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Квадратные уравнения с параметром». Вы рассмотрели общую постановку решения задач с параметром и решили конкретную задачу с параметром двумя способами.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Uztest.ru

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»

Проверьте себя

1. Решить уравнение 

2. Что значит: решить задачу с параметром?

3. №560, 559. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.