15. Модуль действительного числа

Определения модуля

Рассмотрим такое понятие, как модуль действительного числа, у него есть несколько определений.

Определение 1. Расстояние от точки на координатной прямой до нуля называется модулем числа, которое является координатой данной точки (рис. 1).

Пример 1.

;Заметим, что модули противоположных чисел равны и неотрицательны, т. к. это расстояние, а оно не может быть отрицательным, и расстояние от симметричных относительно нуля чисел до начала отсчета равны.

Определение 2.

Пример 2. Рассмотрим одну из задач, поставленную в предыдущем примере для демонстрации равносильности введенных определений., как видим, при отрицательном числе под знаком модуля добавление перед ним еще одного минуса обеспечивает неотрицательный результат, как и следует из определения модуля.

Следствие. Расстояние между двумя точками с координатамиина координатной прямой можно найти следующим образомв независимости от взаимного расположения точек (рис. 2).

Основные свойства модуля

1. Модуль любого числа неотрицателен,

2. Модуль произведения – это произведение модулей,

3. Модуль частного – это частное модулей,

4. ,

5. 

Решение задач

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Воспользуемся вторым определением модуля:
и запишем наше уравнение в виде системы уравнений при различных вариантах раскрытия модуля.

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Аналогично решению предыдущего примера получаем, что

Ответ.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Решим через следствие из первого определения модуля:Изобразим это на числовой оси с учетом того, что искомый корень будет находиться на расстоянии 2 от точки 3 (рис. 3).

Исходя из рисунка, получаем корни уравнения:или, т. к. точки с такими координатами находятся на расстоянии 2 от точки 3, как то требуется в уравнении.

Ответ.или

Пример 6. Решить уравнение

Решение. По сравнению с предыдущей задачей имеется только одно усложнение – это то, что нет полного сходства с формулировкой следствия о расстоянии между числами на координатной оси, т. к. под знаком модуля находится знак плюс, а не минус. Но привести к необходимому виду несложно, что мы и проделаем:Изобразим это на числовой оси аналогично предыдущему решению (рис. 4).

Корни уравненияили

Ответ.или

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Это уравнение еще немного сложнее предыдущего, т. к. неизвестная находится на втором месте и со знаком минус, кроме того, она еще и с числовым множителем. Для решения первой проблемы воспользуемся одним из свойств модуляи получим:

Для решения второй проблемы выполним замену переменных:, что приведет нас к простейшему уравнениюПо второму определению модуляилиПодставим эти корни в уравнение замены и получим два линейных уравнения:и

Ответ.и

Квадратный корень и модуль

Довольно часто в ходе решения задач с корнями возникают модули, и следует обратить внимание, в каких ситуациях они возникают.

При первом взгляде на это тождество могут возникнуть вопросы: «зачем там модуль?» и «почему неверно тождество?». Оказывается, что можно привести простой контрпример для второго вопроса: если, то должно быть верно, что,что равносильно, а это неверное тождество.

После этого может возникнуть вопрос: «а не решает ли проблему такое тождество», но и для этого предложения тоже есть контрпример. Если,то должно быть верно, что, что равносильно, а это неверное тождество

Соответственно, если вспомнить, что квадратный корень из неотрицательного числа является неотрицательным числом, и значение модуля является неотрицательным, становится понятно, почему верно указанное выше утверждение:

Пример 8. Вычислить значение выражения

Решение. В подобных заданиях важно не избавиться бездумно сразу от корня, а воспользоваться указанным выше тождеством, т. к.

Ответ.

Пример 9.  Решить уравнение

Решение. Заметим, что подкоренное выражение можно упростить с помощью формулы полного квадрата:Аналогичные уравнения мы умеем решать и сводим данное уравнение к виду расстояния между точками на числовой оси , и изображаем решение на рисунке 5.

 Получаем корни уравненияили

Ответ.или

На сегодняшнем занятии мы основное внимание уделили геометрическому способу решения задач с модулями, однако существует еще достаточно много других подходов к решению, которые мы рассмотрим позже.

На следующем уроке мы поговорим о таком понятии, как возведение числа в отрицательную степень.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. YouTube (Источник).

Домашнее задание

1. Найдите:
   а);
   б);
   в)

2. Решите уравнение:
   а);
   б);
   в)

3. Упростите выражение:
   а);
   б)

4. Упростите выражение, если