01. Свойства числовых неравенств

Что такое неравенство

Что такое числовое неравенство.

Вспомним, что означают неравенства:  и : означает, что и  означает, что .

Вывод: число  считается большим числа , если разность  является положительным числом. Число  считается меньше числа , если разность  является отрицательным числом.

Геометрическая интерпретация.

Если точка с координатой  находится правее, чем точка с координатой , значит число  . И наоборот. Не всегда очевидна алгебраическая запись, поэтому геометрическая интерпретация часто помогает. С положительными числами это очевидно, а с отрицательными лучше пользоваться расположением этих чисел на числовой оси.

Свойства числовых неравенств.

Свойство неравенств №1

Если  и , то .

Доказательство: Поскольку по условию и , то разницы  и  являются положительными числами. Тогда положительной будет и их сумма . Имеем: . Таким образом, разница – положительное число, и отсюда следует, что .

Свойство неравенств №2

Если  и – любое число, то .

Доказательство:

Рассмотрим разность . Имеем: . Поскольку по условию , то разность – положительное число и . Что и требовалось доказать.

Свойство неравенств №3

Если  и – положительное число, то . И если  и – отрицательное число, то .

Доказательство:

Рассмотрим разность . Имеем: . Поскольку по условию , то разность – положительное число. Если , то произведение – положительное число, и разность  положительная , т. е. .

Если  , то произведение – отрицательное число, и разность  отрицательная, т. е. . 

Пример: , умножим обе части неравенства на 2 и получим , но если обе части неравенства умножить на -2, то знак неравенства поменяется на противоположный: .

Действия с неравенствами

Свойство 4.

, то сумма . Т. е. любые неравенства одного знака можно складывать.

Свойство 5.

Рассмотрим перемножение неравенств.

Если все числа положительные, то их можно перемножить, и получим . Если умножать на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный.

Свойство 6.

Рассмотрим возведение в степень неравенств.

и , тогда .

Пример №1

Даны два положительных числа и . И . Доказать, что их обратные величины связаны противоположным неравенством: .

Решение. Перенесем в одну сторону и выполним необходимые действия.

Так как даны положительные числа и , то нужно убедиться, что  . Чтобы дробь была отрицательным числом, надо, чтобы числитель был отрицательным числом. Умножаем  на -1 и получаем .

Пример №2

Дано:

а) Оценить число .

Решение: Обе части неравенства умножаем на 2. Тогда . Задача решена.

б) Оценить число .

Решение:  будет меняться в пределах . Умножаем неравенство на 3. Получаем ;.

в) Oценить разность .

Решение:  . Неравенства одного знака можно складывать. Получаем:

.

Ответ:

Пример №3

Дано: Доказать , где

Решение: Переносим все в одну сторону. . Приводим к общему знаменателю: ; Знаменатель по условию , значит и числитель должен быть положительным числом, т. е.  . Квадрат числа всегда равен положительному числу, кроме, если . Что и требовалось доказать.

Подведение итога урока.

На данном уроке была рассмотрена тема: «Свойства числовых неравенств». В ходе этого занятия вы вспомнили определение неравенства. Получили представление об основных свойствах числовых неравенств, которые впоследствии пригодятся для решения задач.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Uztest.ru (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

Домашнее задание

1. Сравните числа и , если: а) ; б) ; в) .

2. Какое из чисел больше х или у, если известно, что: а) ; б) .

3. №530, 532. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.