02. Основное свойство алгебраической дроби

Основное свойство обыкновенной дроби

Вспомним основное свойство обыкновенной дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Напомним, что деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля число называется сокращением.

Например:,, при этом значение дробей не изменяется. Однако зачастую при применении данного свойства многие допускают стандартные ошибки

1)- в приведенном примере допущена ошибка деления только одного слагаемого из числителя на 2, а не всего числителя. Правильная последовательность действий выглядит таким образом:или

2)- здесь мы видим похожую ошибку, однако, кроме этого еще в результате деленияполучен 0, а не 1, что является еще более частой и грубой ошибкой.

Теперь необходимо перейти к рассмотрению алгебраической дроби. Вспомним это понятие из предыдущего урока.

Определение. Рациональная (алгебраическая) дробь – дробное выражение вида, гдеи– многочлены.– числитель,– знаменатель.

Алгебраические дроби являются, в некотором смысле, обобщением обыкновенных дробей и над ними можно проводить те же операции, что и над обыкновенными дробями.

Основное свойство алгебраической дроби

Основное свойство алгебраической дроби – и числитель, и знаменатель дроби можно умножать и делить на один и тот же многочлен (одночлен) или число, отличное от нуля. Это будет тождественное преобразование алгебраической дроби. Вспомним, что как и ранее, деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля выражение называется сокращением.

Основное свойство алгебраической дроби позволяет сокращать дроби и приводить их к наименьшему общему знаменателю.

Примеры сокращения обыкновенных дробей

Для сокращения обыкновенных дробей мы прибегали к основной теореме арифметики, разлагали и числитель, и знаменатель на простые множители.

Определение. Простое число – натуральное число, которое делится только на единицу и само себя. Все остальные натуральные числа называются составными. 1 не является ни простым, ни составным числом.

Пример 1.
а);
б), где множители, на которые разложены числители и знаменатели указанных дробей, являются простыми числами.

Ответ. ;.

Примеры сокращения алгебраических дробей

Следовательно, для сокращения дробей необходимо предварительно разложить на  множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить их на общие множители. Т.е. следует владеть методами разложения многочленов на множители.

Пример 2. Сократить дробь
а),
б),
в)  .

Решение.
а).
Необходимо заметить, что в числителе находится полный квадрат, а в знаменателе разность квадратов. После сокращения необходимо указать, что, во избежание деления на ноль.

б).
В знаменателе выносится общий числовой множитель, что полезно делать практически в любом случае, когда это возможно. Аналогично с предыдущим примером указываем, что.

в).
В знаменателе выносим за скобки минус (или, формально,). Не забываем, что при сокращении

Ответ.;;

Теперь приведём пример на приведение к общему знаменателю, делается это аналогично с обыкновенными дробями.

Приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю

Пример 3. Привести к общему знаменателю дробии.

Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) двух знаменателей, т.е. НОК(3;5). Иными словами, найти наименьшее число, которое делится на 3 и на 5 одновременно. Очевидно, что это число 15, записать это можно таким образом: НОК(3;5)=15 – это и будет общий знаменатель указанных дробей.

Чтобы преобразовать знаменатель 3 в 15, его необходимо умножить на 5, а для преобразования 5 в 15, его необходимо умножить на 3. По основному свойству алгебраической дроби следует умножить на те же числа и соответствующие числители указанных дробей.

и.

Ответ.;.

Пример 4. Привести к общему знаменателю дробии.

Решение. Проведем аналогичные предыдущему примеру действия. Наименьшее общее кратное знаменателей НОК(12;18)=36. Приведем к этому знаменателю обе дроби:
и.

Ответ.;.

Сокращение сложных обыкновенных дробей

Теперь рассмотрим примеры, демонстрирующие применение техники сокращения дробей для их упрощения в более сложных случаях.

Пример 5. Вычислить значение дроби:
а),
б),
в).

а). При сокращении пользуемся правилом деления степеней.

б).

в).

Сокращение сложных алгебраических дробей

После того, как мы повторили использование основного свойства обыкновенной дроби, можно перейти к рассмотрению алгебраических дробей.

Пример 6. Упростить дробь  и вычислить при заданных значениях переменных:
а);;,
б);;

Решение. При подходе к решению возможен следующий вариант – сразу же подставить значения переменных и начать расчет дроби, но в таком случае решение сильно усложняется и необходимое на его решение время увеличивается, не говоря уже об опасности ошибиться в сложных вычислениях. Поэтому удобно сначала упростить выражение в буквенном виде, а затем уже подставить значения переменных.

а)При сокращении на множительнеобходимо проверить, не обращается ли он в ноль в указанных значениях переменных. При подстановке получаем, что дает возможность сокращения на данный множитель.

б)В знаменателе выносим минус, как мы это уже делали в примере 2. При сокращении наснова проверяем не делим ли мы на ноль:

Ответ. ;

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Пример 7. Привести к общему знаменателю дроби
а)и,
б)и,
в)и.

Решение.
а) В данном случае подойдем к решению следующим образом: не будем пользоваться понятием НОК, как во втором примере, а просто умножим знаменатель первой дроби на знаменатель второй и наоборот – это позволит привести дроби к одинаковому знаменателю. Конечно же, не забываем при этом умножать и числители дробей на такие же выражения.

.
В числителе раскрыли скобки, а в знаменателе воспользовались формулой разности квадратов.

.
Аналогичные действия.

Видно, что такой способ позволяет умножить знаменатель и числитель одной дроби на тот элемент из знаменателя второй дроби, которого не хватает. С другой дробью проводятся аналогичные действия, и знаменатели приводятся к общему.

б) Проделаем аналогичные с предыдущим пунктом действия:

Умножим числитель и знаменатель на тот элемент знаменателя второй дроби, которого не хватало (в данном случае на весь знаменатель).

Аналогично.

в)
В данном случае мы умножили на 3 (множитель который присутствует в знаменателе второй дроби и отсутствует в первой).

Ответ.
а)  ;,
б);,
в);.

На данном уроке мы изучили основное свойство алгебраической дроби и рассмотрели основные задачи с его использованием. На следующем уроке мы более подробно разберем приведение дробей к общему знаменателю с использованием формул сокращенного умножения и метода группировки при разложении на множители.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Uztest.ru (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

3. Математика в школе: поурочные планы (Источник).

Домашнее задание

1. №20, 22, 23, 26, 27, 29. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Сократить дробь:
   а),
   б),
   в),
   г)

3. Привести дробьк знаменателю