04. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Решение задач

Повторение понятия квадратного корня

Повторим теорию. Рассмотрим функциюи изобразим ее график – правую ветвь параболы (рис. 1).

И сформулируем следующую задачу: дан, найти такой, что.

Решение. По определению квадратного корня, т. к., то, поскольку. Это можно увидеть и по графику – точке с ординатойсоответствует абсцисса.

Ответ..

Пример 1. Вычислить, если,.

Решение. Воспользовавшись определением квадратного корня или указанным графиком (рис. 1) найдем искомые значения:
, т. к.

, т. к..

Ответ. ,.

Повторим определение квадратного корня.

Определение. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числаназывается такое неотрицательное число, квадрат которого равен.

Доказательство того, что корень из 2 не является рациональным числом

Пример 1. Доказать, что– нерациональное число.

Доказательство. Корень из двух – это такое значение, когда. Изобразим для наглядности график функциина рисунке 2 и отметим на нем точку с координатами.

Выполним доказательство методом от противного. Предположим, что число, которое удовлетворяет уравнению, является рациональным, т. е. по определению рационального числа его можно представить в виде дроби (- целое число,- натуральное), причем примем тот факт, что данная дробь несократима (а если она сократима, то сократим ее и приступим к доказательству). Подставим такую записьв исследуемое уравнение:
.

Поскольку правая часть уравнения является четной, т. к. имеет множитель 2, то и левая часть тоже должна быть четной. Посколькучетное, то итоже четное, т. к. оно целое по предположению и не может быть нечетным, поскольку квадрат нечетного числа тоже нечетное число. Тогда числоможно представить в виде, гденекое целое число. Подставим это в полученное уравнение:
.

Проведя аналогичные рассуждения, как и для числа, можем сделать вывод, что числоявляется четным, и его можно представить в виде. Тогда дробь, как видно, является сократимой, что противоречит предположению доказательства. Поскольку мы пришли к противоречию, то числоне является рациональным.

Доказано.

Примеры на вычисление значений квадратных корней и решение уравнений

Пример 2. Вычислить.

Решение., в ходе решения пользуемся определением квадратного корня и тем, чтои.

Ответ. 3.

Пример 3. Вычислить.

Решение..

Ответ. 70.

Пример 4. Вычислить.

Решение. В начале решения удобно преобразовать смешанную дробь, которая находится под корнем, в неправильную:
.

Ответ. 18.

Пример 5. Вычислить.

Решение. Для вычисления квадратного корня из большого составного числа необходимо, пользуясь основной теоремой арифметики, разложить его на простые множители.

.

Ответ. .

Пример 6. Решить уравнение.

Решение. По определению квадратного корня:.

Ответ. .

Пример 7. Решить уравнение.

Решение. По определению квадратного корня:
. Т. к. при возведении в квадрат отрицательного числа результат положительный, то подходит и отрицательный ответ.

Ответ..

На следующем уроке мы рассмотрим функцию.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Дидактические материалы по информатике и математике (Источник).

2. Энциклопедия Кругосвет (Источник).

3. Интернет-портал «allcalc.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. №240, 244, 289, 290, 307. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Вычислите.

3. Вычислите, не используя таблицу квадратов и микрокалькулятор:
а),
б).

4. Докажите, что значение квадратного корня не является целым числом:
а),
б).